मान लीजिए X₁....X₁₀ एक वितरण से एक यादृच्छिक प्रतिदर्श है जिसका प्रायिकता घनत्व फलन \(\rm f(x|θ)=\left\{\begin{matrix}θ x^{θ-1}, & if \:0 है।

जहाँ θ > 0 एक अज्ञात प्राचल है। θ का पूर्व वितरण दिया गया है

\(\rm \pi (θ)=\left\{\begin{matrix}θ e^{-θ}, & if\ θ>0\\\ 0, & otherwise,\end{matrix}\right.\)

वर्ग त्रुटि हानि के अंतर्गत θ का बेयस आकलक है

पूर्व वितरण: बेयसियन आकलन में, पूर्व वितरण किसी भी डेटा को देखने से पहले प्राचल \(\theta\) के बारे में हमारे विश्वासों का प्रतिनिधित्व करता है। इस समस्या में, \(\theta\) का पूर्व वितरण दिया गया है

\(\pi(\theta) = \begin{cases} \theta e^{-\theta}, & \text{यदि } \theta > 0 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}\)

सम्भाव्यता फलन:

सम्भाव्यता फलन प्राचल \(\theta\) दिए गए डेटा को देखने की प्रायिकता को व्यक्त करता है।

इस समस्या के लिए, प्रेक्षणों \(X_1, X_2, \dots, X_n\) का प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) \(\theta\) दिया गया है:

\(f(x|\theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta-1}, & \text{यदि } 0 < x < 1 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}\)

एक यादृच्छिक प्रतिदर्श \(X_1, X_2, \dots, X_n\) के लिए, सम्भाव्यता फलन व्यक्तिगत घनत्वों का गुणनफल है

\(L(\theta | X_1, X_2, \dots, X_n) = \prod_{i=1}^{n} \theta X_i^{\theta-1}\)

यह \(L(\theta | X_1, X_2, \dots, X_n) = \theta^n \prod_{i=1}^{n} X_i^{\theta-1}\) को सरल करता है

व्याख्या:

वर्ग त्रुटि हानि के अंतर्गत \(\theta\) का बेयस आकलक ज्ञात करने की समस्या को हल करने के लिए,

चलिए इसे चरण दर चरण तोड़ते हैं। यादृच्छिक प्रतिदर्श \(X_1, X_2, \dots, X_{10}\) एक

वितरण से आता है जिसका प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) है:

\(f(x|\theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta - 1}, & \text{यदि } 0 < x < 1 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}\), जहाँ \(\theta > 0\) एक अज्ञात प्राचल है।

\(\theta\) का पूर्व वितरण दिया गया है

\(\pi(\theta) = \begin{cases} \theta e^{-\theta}, & \text{यदि } \theta > 0 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}\)

दिए गए pdf से एक प्रतिदर्श \(X_1, X_2, \dots, X_n\) के लिए सम्भाव्यता फलन है

\(L(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} f(x_i|\theta)\)

दिए गए pdf \(f(x|\theta)\) को प्रतिस्थापित करें:

\(L(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) = \prod_{i=1}^{n} \theta x_i^{\theta - 1} \)

\(L(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) = \theta^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{\theta - 1}\)

इसे फिर से लिखा जा सकता है

\(L(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) = \theta^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{\theta} \prod_{i=1}^{n} x_i^{-1}\)

⇒ \(L(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) = \theta^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{\theta} \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}\)

सम्भाव्यता फलन का लघुगणक लेना

\(\log L(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) = n \log \theta + \theta \sum_{i=1}^{n} \log x_i - \sum_{i=1}^{n} \log x_i\)

उत्तर वितरण सम्भाव्यता और पूर्व वितरण के गुणनफल के समानुपाती है।

इसलिए, हम सम्भाव्यता फलन को पूर्व वितरण से गुणा करते हैं:

\(\pi(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) \propto L(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) \times \pi(\theta)\)

पूर्व वितरण \(\pi(\theta) = \theta e^{-\theta}\) है, इसलिए

\(\pi(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) \propto \theta^n \prod_{i=1}^{n} x_i^{\theta} \theta e^{-\theta}\)

इसका लघुगणक लेना \(\log \pi(\theta | x_1, x_2, \dots, x_n) = (n+1) \log \theta + \theta \sum_{i=1}^{n} \log x_i - \theta\)

वर्ग त्रुटि हानि के अंतर्गत बेयस आकलक उत्तर वितरण का माध्य (प्रत्याशा) है। अर्थात्

\(\hat{\theta} = E[\theta | X_1, X_2, \dots, X_n] \)

उत्तर वितरण से, जो एक गामा वितरण है, \(\theta\) की प्रत्याशा द्वारा दी गई है

\(\hat{\theta} = \frac{n+1}{\sum_{i=1}^{n} \log x_i}\)

इस समस्या के लिए, n = 10, इसलिए

\(\hat{\theta} = \frac{11}{\sum_{i=1}^{10} \log x_i}\)

इस प्रकार, विकल्प 2) सही है।