मान लीजिए रेखाखंड AB के अंत्यबिन्दु A(3, -1) और B(1, 1) हैं। मान लीजिए रेखाखंड AB का मध्यबिन्दु P है। मान लीजिए Q, रेखाखंड AB के लम्ब द्विभाजक रेखा पर P से \(\sqrt{2}\) इकाई की दूरी पर स्थित एक बिन्दु है। Q के संभावित निर्देशांक क्या है?

गणना:

दिए गए बिंदु A(3, −1) और B(1, 1) हैं। मान लीजिए कि AB का मध्य बिंदु P है, और AB के लंब समद्विभाजक पर स्थित एक बिंदु Q है जो P से √2 इकाई की दूरी पर है।

AB का मध्य बिंदु P की गणना करें:

\(P = \Bigl(\tfrac{3 + 1}{2},\,\tfrac{-1 + 1}{2}\Bigr) = (2,\,0) \)

AB की ढाल की गणना करें:

\(m_{AB} = \frac{\,1 - (-1)\,}{\,1 - 3\,} = \frac{2}{-2} = -1\)

इसलिए, रेखा AB का समीकरण है:

\(y - 1 = -1\,(x - 1)\;\Longrightarrow\;x + y - 2 = 0\)

AB का लंब समद्विभाजक P(2, 0) से गुजरना चाहिए और इसकी ढलान −1 (अर्थात ढलान +1) के लंबवत होनी चाहिए:

\(y - 0 = 1\,(x - 2)\;\Longrightarrow\;y = x - 2\)

इस समद्विभाजक पर कोई भी बिंदु Q, y = x - 2 को संतुष्ट करता है। Q = (x, x − 2) लिखें।

हमें दूरी PQ = √2 की आवश्यकता है। चूँकि P(2, 0),

\(\text{Distance}^2 = (x - 2)^2 + \bigl((\,x - 2\,) - 0\bigr)^2 = 2\)

⇒ \((x - 2)^2 + (x - 2)^2 = 2\;\Longrightarrow\;2\,(x - 2)^2 = 2\;\Longrightarrow\;(x - 2)^2 = 1\)

इस प्रकार,

⇒ \(x - 2 = \pm 1\;\Longrightarrow\;x = 3\text{ or }x = 1\)

यदि x = 3 है, तो y = 3 - 2 = 1 है। इसलिए एक हल Q(3, 1) है।

यदि x = 1 है, तो y = 1 - 2 = -1 है। इसलिए दूसरा हल Q(1, −1) है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।