माना कि A₁, A₂, A₃ ऐसी घटनाएँ हैं जो 0 < P(Aᵢ) < 1 को संतुष्ट करती है, जहाँ i = 1, 2, 3 है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

अवधारणा:

सशर्त प्रायिकता:

दो घटनाओं A और B के लिए, B के घटित होने पर A के घटित होने की सप्रतिबंधित प्रायिकता को इस प्रकार दर्शाया जाता है

\(P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\), बशर्ते कि P(B) > 0.

$P(A_3 | A_2)$$P(A_3 | A_2)$ स्पष्टीकरण:

विकल्प 1:

प्रति उदाहरण:

मान लीजिए, \( P(A_1) = 0.8\)

\(P(A_2) = 0.4\) , \(P(A_3) = 0.3\)

\(P(A_1 \cap A_2) = 0.25\) , \(P(A_2 \cap A_3) = 0.2\) और \(P(A_1 \cap A_3) = 0.05\)

\( P(A_1 | A_2) = \frac{0.25}{0.4} = 0.625 \) , \(P(A_2 | A_3) = \frac{0.2}{0.3} = 0.6667\) और

\(P(A_1 | A_3) = \frac{0.05}{0.3} = 0.1667\)

वाम हस्त पक्ष: \(0.625 \times 0.6667 = 0.4167\)

दक्षिण हस्त पक्ष: 0.1667

यहाँ, वाम हस्त पक्ष 0.4167, दक्षिण हस्त पक्ष 0.1667 से अधिक है, जो असमिका का उल्लंघन करता है।

इस प्रकार, यह एक विपरीत उदाहरण प्रस्तुत करता है जहाँ

\(P(A_1 | A_2) P(A_2 | A_3) > P(A_1 | A_3)\)

अतः विकल्प 1) गलत है।

विकल्प 2:

आइए हम एक प्रायिकता स्थान में तीन घटनाओं \(A_1, A_2, A_3\) को निम्नलिखित प्रायिकताओं के साथ परिभाषित करें:

\(P(A_1) = 0.5 \) , \(P(A_2) = 0.6\)

\(P(A_3) = 0.4\)

\(P(A_1 \cap A_2) = 0.3\) , \(P(A_3 \cap A_2) = 0.25 \)

\(P(A_1 \cap A_3 \cap A_2) = 0.2\)

\(P(A_1 | A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.3}{0.6} = 0.5\)

\(P(A_3 | A_2) = \frac{P(A_3 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.25}{0.6} \approx 0.4167\)

\(P(A_1 \cap A_3 | A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_3 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.2}{0.6} \approx 0.3333 \)

वाम हस्त पक्ष: \(P(A_1 | A_2) P(A_3 | A_2) = 0.5 \times 0.4167 = 0.2083\)

दक्षिण हस्त पक्ष: \( P(A_1 \cap A_3 | A_2) = 0.3333\)

इसलिए, \(P(A_1 | A_2) P(A_3 | A_2) < P(A_1 \cap A_3 | A_2)\)

अतः विकल्प 2) गलत है।

विकल्प 3:
यह कथन प्रशंसनीय लगता है क्योंकि दो घटनाओं के सम्मिलन की प्रायिकता आम तौर पर व्यक्तिगत प्रायिकताओं के योग से कम या उसके बराबर होती है। इससे सप्रतिबंधित प्रायिकताओं का गुणनफल सम्मिलन प्रायिकता से अधिक या उसके बराबर हो सकता है। इसलिए, यह विकल्प सत्य है।

विकल्प 4:

\(P(A_1) = 0.6\)

\(P(A_2) = 0.5\)

\(P(A_3) = 0.4\)

\(P(A_1 \cap A_2) = 0.3\)

\(P(A_2 \cap A_3) = 0.2\)

\(P(A_1 \cap A_3) = 0.1\)

\(P(A_1 | A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_2)} = \frac{0.3}{0.5}= 0.6\)

\(P(A_2 | A_3) = \frac{P(A_2 \cap A_3)}{P(A_3)} = \frac{0.2}{0.4} = 0.5\)

\(P(A_1 | A_3) = \frac{P(A_1 \cap A_3)}{P(A_3)} = \frac{0.1}{0.4} = 0.25\)

वाम हस्त पक्ष: \(P(A_1 | A_2) + P(A_2 | A_3) = 0.6 + 0.5 = 1.1\)

दक्षिण हस्त पक्ष: \(P(A_1 | A_3) = 0.25\)

सही उत्तर विकल्प 3) है।