यदि x, y ∈ R है, तो सारणिक

 ∆ 

= $\left|\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{x}& -\sin \mathrm{x}& 1\\ \sin \mathrm{x}& \cos \mathrm{x}& 1\\ \cos (\mathrm{x}+\mathrm{y})& -\sin (\mathrm{x}+\mathrm{y})& 0\end{array}\right|$ अंतराल में स्थित है: 

अवधारणा : x,y ∈ R के लिए:

sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

cos(x + y) = cos x cos y - sin x sin y

व्याख्या:

यहां, Δ = $\left|\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{x}& -\sin \mathrm{x}& 1\\ \sin \mathrm{x}& \cos \mathrm{x}& 1\\ \cos (\mathrm{x}+\mathrm{y})& -\sin (\mathrm{x}+\mathrm{y})& 0\end{array}\right|$

= $\left|\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{x}& -\sin \mathrm{x}& 1\\ \sin \mathrm{x}& \cos \mathrm{x}& 1\\ \cos \mathrm{x}\cos \mathrm{y}-\sin \mathrm{x}\sin \mathrm{y}& -\sin \mathrm{x}\cos \mathrm{y}-\cos \mathrm{x}\sin \mathrm{y}& 0\end{array}\right|$

R₃ → R₃ - cosyR₁ - sinyR₂ का प्रयोग करने पर, 

⇒ Δ = $\left|\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{x}& -\sin \mathrm{x}& 1\\ \sin \mathrm{x}& \cos \mathrm{x}& 1\\ 0& 0& \sin \mathrm{y}-\cos \mathrm{y}\end{array}\right|$

R3 के अनुदिश प्रसरण करने पर,   

⇒ Δ = 0 - 0 + (sin y - cos y)(sin²x + cos²x)

⇒ Δ = sin y - cos y   (∵ sin2x + cos2x = 1)

⇒ Δ = √2[$\frac{1}{\surd 2}$sin y - $\frac{1}{\surd 2}$cos y]

Δ = √2[$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\frac{\pi }{4})\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{y}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\frac{\pi }{4})\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}$ ]

⇒ Δ = √2[sin(y - $\frac{\pi }{4}$)]

अब, -1 ≤ sin(y - $\frac{\pi }{4}$) ≤ 1

⇒ -√2 ≤ √2 sin(y - $\frac{\pi }{4}$) ≤ √2

∴ Δ ∈ [-√2, √2]