यदि f(x) = e^|x| तो निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

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NDA (Held On: 18 Apr 2021) Maths Previous Year paper

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Answer 1

अवधारणा:

फलन की अवकलनीयता: एक फलन f(x) इसके डोमेन में x = a पर अवकलनीय तब होता है यदि इसका अवकलज a पर निरंतर होता है।
इसका अर्थ है कि f'(a) को मौजूद होना चाहिए, या समकक्ष रूप से:

\(\rm \lim_{x\to a^+}f'(x)=\lim_{x\to a^-}f'(x)=\lim_{x\to a}f'(x)=f'(a)\)।
मापांक फलन '| |' को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है: \( \rm |x|=\left\{\begin{matrix}\rm \ \ \ x, &\rm x \ge 0\\ \rm -x, &\rm x<0\\\end{matrix}\right.\)

गणना:

मापांक फलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

f(x) = ex, x ≥ 0

और f(x) = e-x, x < 0

अवकलजों के पहले सिद्धांत का उपयोग करते हुए हम पाते हैं कि:

\(\rm \lim_{x\to 0^+}f'(x)=\lim_{x\to 0}e^x\) = 1

और, \(\rm \lim_{x\to 0^-}f'(x)=\lim_{x\to 0}-e^{-x}\) = -1

चूंकि \(\rm \lim_{x\to a^+}f'(x)\neq\lim_{x\to a^-}f'(x)\) , दिया गया फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है, या, f'(0) मौजूद नहीं है।