परवलय y² = 4x पर एक स्पर्शरखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ 45° के कोण पर आनत है। स्पर्शरखा और परवलय का स्पर्श बिंदु कौन-सा है?

गणना:

दिया गया परवलय है,

y2 = 4x

और इस परवलय की एक स्पर्श रेखा जो धनात्मक x-अक्ष के साथ 45° के कोण पर आनत है, इसलिए, इसका ढाल है

\(m \;=\; \tan(45^\circ) \;=\; 1.\)

y2 = 4x का एक मानक प्राचलिक रूप है

\(\bigl(x(t),\,y(t)\bigr) \;=\;\bigl(t^{2},\,2t\bigr), \)

क्योंकि \(y^{2} = 4x \implies (2t)^{2} = 4\,t^{2} \)

\(\bigl(t^{2},\,2t\bigr) \) पर स्पर्श रेखा की ढाल

y2 = 4x को अवकलित करने पर

\(2y\,\frac{dy}{dx} \;=\; 4 \)

\(\;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} \;=\; \frac{4}{\,2y\,} \;=\; \frac{2}{\,y\,}. \)

बिंदु \(\bigl(x,y\bigr) = \bigl(t^{2},\,2t\bigr) \) पर \(y = 2t \)

\(\left.\frac{dy}{dx}\right|_{\,(t^{2},\,2t)} \) \(= \frac{2}{\,2t\,} = \frac{1}{t}.\)

हमें इस ढाल को 1 के बराबर करने की आवश्यकता है।

\(\frac{1}{t} \;=\; 1 \;\Longrightarrow\; t = 1. \)

अब स्पर्श बिंदु

\(\bigl(x(t),\,y(t)\bigr) = \bigl(t^{2},\,2t\bigr)\) में t = 1 प्रतिस्थापित करने पर,

\(x(1) = 1^{2} = 1, \)

\(y(1) = 2 \cdot 1 = 2. \)

इस प्रकार ढाल 1 के स्पर्शरेखा का स्पर्श बिंदु (1, 2) है। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 4 है।