Real and Imaginary parts MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Real and Imaginary parts - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

दूरियों के वर्गों के अंतर द्वारा परिभाषित बिंदुओं का बिंदुपथ:

• जटिल ज्यामिति में, एक बिंदु \( z \) ऐसा है कि \( |z - z_1|^2 - |z - z_2|^2 \) अचर है, एक ज्यामितीय बिंदुपथ को निरूपित करता है।
• यदि अंतर अचर है, तो यह एक सरल रेखा को निरूपित कर सकता है।
• समीकरण \( |z - z_1|^2 - |z - z_2|^2 = c \) कई मामलों में रैखिक रूप में सरलीकृत होता है।
• यहाँ, यह एक सरल रेखा समीकरण में सरलीकृत होता है।

जटिल संख्या:

• परिभाषा: एक जटिल संख्या \( z = x + iy \) के रूप की होती है, जहाँ \( x \) वास्तविक भाग है और \( y \) काल्पनिक भाग है।
• SI इकाई: विमाहीन
• मापांक: \( |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \)

जटिल समतल में दूरी:

• परिभाषा: दो जटिल संख्याओं \( z_1 \) और \( z_2 \) के बीच की दूरी \( |z_1 - z_2| \) है।
• सूत्र: \( |z_1 - z_2|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \)

गणना:

दिया गया है,

\( z_1 = 2 + 3i,\quad z_2 = 3 + 4i \)

\( z \in \mathbb{C} \) ऐसा है कि \( |z - z_1|^2 - |z - z_2|^2 = |z_1 - z_2|^2 \)

मान लीजिये \( z = x + iy \)

⇒ \( |z - z_1|^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 \)

⇒ \( |z - z_2|^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2 \)

⇒ \( |z_1 - z_2|^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 2 \)

⇒ \( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 - (x - 3)^2 - (y - 4)^2 = 2 \)

⇒ \( [x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9] - [x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16] = 2 \)

⇒ \( x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 - x^2 + 6x - 9 - y^2 + 8y - 16 = 2 \)

⇒ \( 2x + 2y - 12 = 2 \)

⇒ \( 2x + 2y = 14 \Rightarrow x + y = 7 \)

⇒ रेखा का समीकरण: \( x + y = 7 \)

⇒ x-अंतःखंड = 7 (जब y = 0), y-अंतःखंड = 7 (जब x = 0)

∴ बिंदुपथ एक सरल रेखा को निरूपित करता है जिसके अंतःखंडों का योग = 14 है।

प्रयुक्त सूत्र: 

(a + b) (a - b) = a² - b²

i² = -1

गणना:

माना x =\(\sqrt{12+5 i}+\sqrt{12-5 i}\), जहाँ \(i=\sqrt{-1}\)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

x² = \({12+5 i}+{12-5 i} +2\sqrt{12+5 i}\sqrt{12-5 i}\)

x² = \({24} +2\sqrt{144+25}\)

x2 = \({24} +2\sqrt{169}\)

x2 = \(24 +26\)

x2 = \(50\)

x = \(5\sqrt 2\)

गणना

2z² - 32 - 2i = 0

⇒ \(2\left(z-\frac{i}{z}\right)=3\)

\(\alpha-\frac{i}{\alpha}=\frac{3}{2}\)

⇒ \(\alpha^{2}-\frac{1}{\alpha^{2}}-2 i=\frac{9}{4}\)

⇒ \(\alpha^{2}-\frac{1}{\alpha^{2}}-2 i=\frac{9}{4}\)

⇒ \(\frac{9}{4}+2 i=\alpha^{2}-\frac{1}{\alpha^{2}}\)

⇒ \(\frac{81}{16}-4+9 i=\alpha^{4}+\frac{1}{\alpha^{4}}-2\)

⇒ \(\frac{49}{16}+9 i=\alpha^{4}+\frac{1}{\alpha^{4}}\)

इसी प्रकार,

⇒ \(\frac{49}{16}+9 i=\beta^{4}+\frac{1}{\beta^{4}}\)

\(\frac{\alpha^{19}+\beta^{19}+\alpha^{11}+\beta^{11}}{\alpha^{15}+\beta^{15}}=\frac{\alpha^{15}\left(\alpha^{4}+\frac{1}{\alpha^{4}}\right)+\beta^{15}\left(\beta^{4}+\frac{1}{\beta^{4}}\right)}{\alpha^{15}+\beta^{15}}\)

⇒ \(\frac{\left(\alpha^{15}+\beta^{15}\right)\left(\frac{49}{16}+9 i\right)}{\left(\alpha^{15}+\beta^{15}\right)}\)

वास्तविक = \(\frac{49}{16}\)

काल्पनिक = 9

\(\text { 16. } \operatorname{Re}\left(\frac{\alpha^{19}+\beta^{19}+\alpha^{11}+\beta^{11}}{\alpha^{15}+\beta^{15}}\right) \cdot \operatorname{Im}\left(\frac{\alpha^{19}+\beta^{19}+\alpha^{11}+\beta^{11}}{\alpha^{15}+\beta^{15}}\right) = 441\)

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

गणना

दिया गया है:

एक सम्मिश्र संख्या \(z\) इस प्रकार है कि \(\frac{z-2i}{z-2}\) शुद्धतः काल्पनिक है।

माना \(z = x + iy\), जहाँ \(x\) और \(y\) वास्तविक संख्याएँ हैं। तब -

\(\frac{z-2i}{z-2} = \frac{x+iy-2i}{x+iy-2} = \frac{x + i(y-2)}{(x-2) + iy}\)

\(= \frac{(x+i(y-2))((x-2)-iy)}{(x-2)^2 + y^2}\)

\(= \frac{x(x-2) + y(y-2) + i[(y-2)(x-2)-xy]}{(x-2)^2 + y^2}\)

चूँकि \(\frac{z-2i}{z-2}\) शुद्धतः काल्पनिक है, इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:

⇒ \(x(x-2) + y(y-2) = 0\)

⇒ \(x^2 - 2x + y^2 - 2y = 0\)

⇒ \((x-1)^2 + (y-1)^2 = 2\)

यह केंद्र \((1, 1)\) और त्रिज्या \(\sqrt{2}\) वाले वृत्त का समीकरण है।

इस वृत्त द्वारा परिबद्ध और प्रथम चतुर्थांश में स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल वृत्त के कुल क्षेत्रफल का \(\frac{1}{4}\) है।

वृत्त का क्षेत्रफल \(\pi r^2 = \pi (\sqrt{2})^2 = 2\pi\) है।

प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल \(\frac{1}{4}(2\pi) = \frac{\pi}{2}\) है।

अतः विकल्प 2 सही है। 

गणना

माना कि z = r.e^iθ

इसलिए, \((\bar{z})^{2}+\frac{1}{z^{2}}=\left(r^{2}+\frac{1}{r^{2}}\right) e^{-2 i \theta}=a+i b(\text { say) }\), जहाँ a, b ∈ Z है। 

इसलिए, \(\left(r^{2}+\frac{1}{r^{2}}\right)^{2}=a^{2}+b^{2}\)

\(\Rightarrow r^{8}-\left(a^{2}+b^{2}-2\right) r^{4}+1=0\)

\(\Rightarrow \quad r^{4}=\frac{\left(a^{2}+b^{2}-2\right) \pm \sqrt{\left(a^{2}+b^{2}-2\right)^{2}-4}}{2}\)

के लिए \(a^{2}+b^{2}=45 \text { (i.e }(a, b)=( \pm 6, \pm 3) \text { or }( \pm 3, \pm 6)\)

हमें प्राप्त होता है, \(r=\left(\frac{43+3 \sqrt{205}}{2}\right)^{1 / 4}\)

इसलिए, विकल्प 1 सही है। 

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्याओं की समानता:

दो सम्मिश्र संख्याएँ z1 = x1 + iy1 और z2 = x2 + iy2 केवल तब बराबर होते हैं यदि x1 = x2 और y1 = y2  होता है। 

"या" 

Re (z1) = Re (z2) और Im (z1) = Im (z2).

गणना:

दिया गया है:

(2 - i) (x - iy) = 3 + 4i

⇒ 2x - 2iy - ix + i2y = 3 + 4i

⇒ 2x - 2iy - ix - y = 3 + 4i                 (∵ i² = -1)

⇒ (2x – y) + i(-x - 2y) = 3 + 4i

वास्तविक और काल्पनिक भाग को बराबर करने पर,

2x - y = 3      ----(1)

-x - 2y = 4       ----(2)

समीकरण 1 और 2 को हल करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

x = \(\frac 2 5\) और y = \(\frac {-11}{5}\)

Now, the value of 5x can be calculated as:

5x = 5 × \(\frac 2 5\) = 2

धारणा:

सम्मिश्र संख्याओं पर यूलर का सूत्र:

• e^ix = cos x + i sin x
• e^-ix = cos x - i sin x

गणना:

(sin x + icos x)³

I को उभयनिष्ठ लें, हमें मिलता है

(sin x + icos x)³

= \({{\rm{i}}^3}{\left( {\frac{{\sin {\rm{x}}}}{{\rm{i}}} + {\rm{\;}}\cos {\rm{x}}} \right)^3}\)

= -i × (-i sin x + cos x)³                   

(∵ i³ = -i और 1/i = -i)

= -i × (cos x - i sin x) ³

\(= {\rm{}} - {\rm{i\;}} \times {\rm{}}{\left( {{{\rm{e}}^{ - {\rm{ix}}}}} \right)^3} \)       

\(= {\rm{}} - {\rm{i\;}} \times {\rm{\;}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}3{\rm{x}}}}{\rm{\;}}\)

(∵e^-ix = cos x - i sin x)

= -i (cos 3x – i sin 3x)

= (-i cos 3x + i² sin 3x)

= -sin3x – i cos 3x

∴ वास्तविक भाग = -sin 3x

अवधारणा:

माना z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है, जहाँ x को एक सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग या Re (z) कहा जाता है और y को सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग या Im (z) कहा जाता है

विशुद्ध रूप से वास्तविक के लिए स्थिति: शून्य के बराबर काल्पनिक भाग।

विशुद्ध रूप से काल्पनिक के लिए स्थिति: शून्य के बराबर वास्तविक भाग।

गणना:

\(\rm z=\frac {3-2i\sinθ}{2+i\sinθ}\)

अंश और हर को 2 + i sin θ द्वारा गुणा करने पर

\(\rm⇒ z=\frac{3-2isinθ}{2+isinθ}\times \frac{2-isinθ}{2-isinθ}\)

\(\rm =\frac{6-3isinθ-4isinθ+2i^2sin^2θ}{4-i^2sin^2θ}\)

\(\rm =\frac{6-7isinθ-2sin^2θ}{4+sin^2θ}\)          (∵ i2 = -1)

\(\rm⇒ z=\frac{6+2sin^2θ}{4+sin^2θ}+\frac{-isinθ}{4+sin^2θ}\)

z का काल्पनिक भाग

\(\rm ⇒ Im(z)=\frac{-7\sin θ}{4+\sin^2θ}\)

z के लिए विशुद्ध रूप से वास्तविक होने के लिए Im(z) = 0 है

\(\therefore \frac{-7\sinθ}{4+\sin^2θ}=0\)

⇒ sin θ = 0

तो, θ = nπ, जहां n पूर्णांक से संबंधित है

अवधारणा:

माना z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है।

• z का मापांक = \(\rm \left | z \right |= \sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
• Arg (z) = Arg (x + iy) = \(\rm tan^{-1}\left ( \frac{y}{x} \right )\)

गणना:

माना \(\rm z=\frac{10}{1-i}\)

अंश और हर को 1 + i से गुणा करने पर

\(\rm \Rightarrow z =\frac{10}{1-i}\times \frac{1+i}{1+i}\)

\(\rm =\frac{10(1+i)}{1-i^2}\)

\(\rm =\frac{10(1+i)}{2}\)

= 5 + 5i

\(\rm \Rightarrow arg(z)=tan^{-1}(5/5)\)

\(\rm \therefore arg(z)=\frac{\pi}{4}\)

इसलिए, विकल्प 4 सही है।

अवधारणा:

सम्मिश्र संख्या​​:

• एक सम्मिश्र संख्या a + ib रूप की एक संख्या है, जहां a और b वास्तविक संख्याएं हैं और i, i = \(\rm \sqrt{-1}\) द्वारा परिभाषित सम्मिश्र इकाई है।
• 'a' को वास्तविक भाग Re {z} कहा जाता है और b को काल्पनिक भाग Im{z} कहा जाता है।
• यदि z1 = z2, तो Re{z1} = Re{z2} और Im{z1} = Im{z2} है।
• संख्या 0 को निम्न रूप में लिखा जा सकता है: 0 + i0

गणना:

चूंकि,  z = (2x - 3y) + i(x2 - y2) = 0, इसका मतलब है कि z के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग 0 के बराबर हैं।

यानी Re{z} = 2x - 3y = 0

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्याओं की समानता:

दो सम्मिश्र संख्याएँ z1 = x1 + iy1 और z2 = x2 + iy2 बराबर होते हैं यदि केवल x1 = x2 और y1 = y2 होते हैं।

या Re (z1) = Re (z2) और Im (z1) = Im (z2)

गणना:

दिया गया है कि 2x2 + (x2 - y)i = (8 - 3i)

वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना,

⇒ 2x² = 8 

⇒ x² = 4

⇒ x = -2, 2

और, x2 - y = -3

⇒ 4 - y = -3               [∵ x² = 4]

⇒ y = 7 

अवधारणा:

सम्मिश्र संख्या की समरूपता।

दो सम्मिश्र संख्या z1 = x1 + iy1 और z2 = x2 + iy2 समान हैं यदि और केवल यदि x1 = x2 और y1 = y2

या Re (z1) = Re (z2) और Im (z1) = Im (z2)।

गणना:

\(\Rightarrow z=\frac{1-i}{i}\)

अंश और हर में i द्वारा गुणा करने पर

\(\Rightarrow z=\frac{1-i}{i}\times \frac{i}{i}\)

\(=\frac{i-i^2}{i^2}\)

\(=\frac{i+1}{-1}\)

\(=-1-i\)

Re(z) = -1 

Im(z) = -1

इसलिए, विकल्प 4 सही है

संकल्पना:

सम्मिश्र संख्याओं की समानता:

दो सम्मिश्र संख्याएँ z₁ = x₁ + iy₁ और z₂ = x₂ + iy₂  केवल तब बराबर होते हैं यदि x₁ = x₂ और y₁ = y₂ होता है। 

या Re (z₁) = Re (z₂) और Im (z₁) = Im (z₂).

गणना:

दिया गया है: \(\rm x + iy = \dfrac{3+4i}{2-i}\)

\(⇒ \rm x + iy = \dfrac{3+4i}{2-i}\times\dfrac{2+i}{2+i}\)

\(⇒ \rm x + iy = \dfrac{6+11i+4i^2}{4-i^2}\)   

चूँकि हम जानते हैं i2 = -1 

\(⇒ \rm x + iy = \dfrac{6+11i-4}{4+1}\)

\(⇒ \rm x + iy = \dfrac{2+11i}{5} = \dfrac 25+i \dfrac{11}{5}\)

वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\rm x= \dfrac 2 5 \; and \;y = \dfrac {11}{5}\)

संकल्पना:

माना कि z = x + iy एक सम्मिश्र संख्या है,

जहाँ x सम्मिश्र संख्या या Re (z) का वास्तविक भाग है और y को सम्मिश्र संख्या या Im (z) का काल्पनिक भाग कहा जाता है। 

z का संयुग्म = z̅ = x - iy  

गणना:

1. Z और इसके संयुग्म का अंतर एक काल्पनिक संख्या है। 

माना कि z = a + ib है।           ....(i)

z का संयुग्म = z̅ = a - ib      ....(ii)

समीकरण(i) - समीकरण (ii)

z - z̅ = a + ib - a + ib

⇒ 2ib

इसलिए यह स्पष्ट है कि z और इसके संयुग्म का अंतर एक काल्पनिक संख्या है।  

2. Z और इसके संयुग्म का योग एक वास्तविक संख्या है। 

समीकरण (i) + समीकरण (ii)

z + z̅ = a + ib + a - ib

⇒ 2a

इसलिए यह स्पष्ट है कि Z और इसके संयुग्म का योग एक वास्तविक संख्या है।

अतः 1 और 2 दोनों सही हैं।  

अवधारणा:

माना कि A = x₁ + iy₁ और B = x₂ + iy₂ 

यदि A = B तो x₁ = x₂ और y₁ = y₂

गणना:

दिया हुआ \(\rm A + iB = \dfrac{4+2i}{1-2i}\)

⇒\(\rm A + iB = \dfrac{4+2i}{1-2i}\times\dfrac{1+2i}{1+2i}\)

⇒ \(\rm A + iB = \dfrac{4+10i+4i^2}{1-4i^2}\)

हम जानते हैं कि i² = -1 

⇒\(\rm A + iB = \dfrac{4+10i-4}{1+4}\)

⇒\(\rm A + iB = \dfrac{10i}{5}\)

⇒A + iB = 2i

⇒ A + iB = 0 + 2i

वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करके हम निम्न प्राप्त करते हैं

⇒A = 0