Probability MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Probability - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jul 11, 2025
Latest Probability MCQ Objective Questions
Probability Question 1:
एक छः फलकों वाली पासा पर विचार करें जिसके i-वें फलक पर z बिंदु अंकित हैं, i = 1, 2,...,6। पासे के एकल यादृच्छिक फेंक में, मान लीजिए कि pi इस प्रायिकता को दर्शाता है कि प्राप्त ऊपरी फलक पर i बिंदु हैं, i = 1, 2,...,6। पासे को 240 बार स्वतंत्र रूप से घुमाया जाता है और निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है
| प्राप्त फलक | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| बारंबारता | 40 | 55 | 40 | 25 | 35 | 45 |
मान लीजिए कि हम H0 :
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 1 Detailed Solution
अवधारणा:
( शून्य परिकल्पना) : पासा निष्पक्ष है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक फलक की समान प्रायिकता है
(वैकल्पिक परिकल्पना): कम से कम एक फलक की प्रायिकता
स्पष्टीकरण:
पासे को 240 बार घुमाया जाता है, इसलिए
इस प्रकार, प्रत्येक फलक के लिए अपेक्षित बारंबारता 40 है।
तालिका से, प्रेक्षित बारंबारताएँ इस प्रकार हैं:
[40, 55, 40, 25, 35, 45].
काई-वर्ग सांख्यिकी का सूत्र है:
जहाँ
अब, हम चरण दर चरण
⇒
⇒
⇒
⇒
इस प्रकार, परीक्षण सांख्यिकी का प्रेक्षित मान 12.5 है।
काई-वर्ग बंटन के लिए क्रांतिक मान दिए गए हैं,
5% सार्थकता स्तर पर, 5 स्वातंत्र्य कोटि के साथ, क्रांतिक मान
प्रेक्षित
1% सार्थकता स्तर पर, क्रांतिक मान
हम
विकल्प 1:
विकल्प 2:
विकल्प 3:
विकल्प 4: परीक्षण सांख्यिकी का प्रेक्षित मान 12.5 है। यह सत्य है।
अतः सही विकल्प 1) और 4) हैं।
Probability Question 2:
एक मानक निष्पक्ष पासे को तब तक लुढ़काया जाता है जब तक कि 5 या 6 के अलावा कोई अन्य फलक ऊपर न आ जाए। मान लीजिए कि X अंतिम रोल के फलक मान को दर्शाता है, और
A = {X सम है} और B = {X अधिकतम 2 है}। तब,
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 2 Detailed Solution
हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।
Probability Question 3:
आप कंपनी I तथा II में रु. 1000 निवेश करना चाहते हैं। यदि बाज़ार अच्छा है, तो कंपनी | द्वारा 50% का लाभांश घोषित होगा जबकि कंपनी ॥ द्वारा 30% घोषित होगा। यदि बाज़ार खराब है, कंपनी | द्वारा 10% का लाभांश जबकि कंपनी II द्वारा 20% लाभांश घोषित होगा। पूर्वानुमान है कि बाज़ार के सुधरने की प्रायिकता 0.4 तथा खराब होने की प्रायिकता 0.6 है। अपेक्षित लाभांश को अधिकतमीकृत करने के लिए निवेश होना चाहिए
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 3 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1 है।
हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।
Probability Question 4:
यदि दो वर्गों में घनत्व क्रमश:
f1(x) = 1; 0 ≤ x ≤ 1 तथा f2(x) = 1+ cos (2πx); 0 ≤ x ≤ 1, हो तो उन दोनों के बीच वर्गीकरण की समस्या पर विचार कीजिए। यह मानें कि दो वर्गों की पूर्व प्रायिकता बराबर हैं। निम्न में से कौन - से सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 4 Detailed Solution
Probability Question 5:
पूर्णांकों पर एक सरल सममित यादृच्छिक भ्रमण पर विचार करें जहां हर अवस्था i से अवस्था i - 1 तथा i + 1 प्रत्येक में जानें की प्रायिकता आधी है। तब निम्न में से कौन से सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 5 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 2 और 3 हैं।
हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।
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Probability Question 6:
दो बक्से हैं। बक्से I में 3 लाल गेंदें और 2 सफेद गेंदें हैं। बक्से II में 2 लाल गेंदें और 3 सफेद गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से किसी एक बक्से से निकाली जाती है। घटना A यह है कि निकाली गई गेंद लाल है, और घटना B यह है कि गेंद बक्से I से निकाली गई थी। यदि P(B|A) = 3/5 है, तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 6 Detailed Solution
व्याख्या -
दिया गया है कि P(B|A) = 3/5 का अर्थ वह प्रायिकता है कि गेंद बक्से I से निकाली गई थी, यह दिया गया है कि वह लाल थी, घटनाओं की स्वतंत्रता नहीं।
लाल गेंद निकालने की कुल प्रायिकता (घटना A) बक्से I से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता और बक्से II से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता के योग के बराबर है।
यह मानते हुए कि किसी भी बक्से से निकालने की समान संभावना है:
बक्से I (घटना B) से निकालने की प्रायिकता, समस्या के सेटअप से, 0.5 है।
यदि A और B स्वतंत्र होते, तो P(A ∩ B) P(A)P(B) के बराबर होता, जो है:
P(A)P(B) = 0.5*0.5 = 0.25
लेकिन, P(A ∩ B) बक्से I से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता के बराबर भी है, जो है:
P(A ∩ B) = 0.5*(3/5) = 0.3
चूँकि P(A)P(B) P(A ∩ B) के बराबर नहीं है, इसलिए घटनाएँ A और B स्वतंत्र नहीं हैं।
इसलिए, सही उत्तर विकल्प (2) है।
Probability Question 7:
फलन f(x) को इस तरह परिभाषित करते हैं।
f(x) = ce-x4, x ∈ ℝ.
C के किस मान के लिए f प्रायिकता घनत्व फलन होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 7 Detailed Solution
सही उत्तर विकल्प 1 है
हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।
Probability Question 8:
मान लीजिए X और Y स्वतंत्र और सर्वसम रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं जो (0, 4) पर एकसमान रूप से वितरित हैं। तब P(X > Y|X
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 8 Detailed Solution
P(X > Y|X
(1) सही है
Probability Question 9:
एक सिक्के को उछालने पर चित्त आने की प्रायिकता p, p ∈ (0, 1) है। सिक्के को स्वतंत्र रूप से 25 बार उछाला जाता है और चित्त 10 बार आता है। पूर्व प्रायिकता Beta (5, 5) और वर्ग त्रुटि हानि फलन के सापेक्ष p का बेयस अनुमान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 9 Detailed Solution
व्याख्या -
Probability Question 10:
किसी यादृच्छिक प्रयोग में एक अनभिनत सिक्का एक बार उछाला जाता है। फिर एक अनभिनत षटफलकीय पासा N बार फेंका जाता है, जहाँ
यदि N प्रयासों में Y बार 6 आता हो तब P(Head |Y = 15) का मान है।
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 10 Detailed Solution
(1) सही है। हम जल्द ही समाधान अपडेट करेंगे।
Probability Question 11:
एक पूर्णांक n ≥ 4 लीजिए। एक परिमित अवस्था समष्टि {1, 2, …, n} पर एक समघात मार्कोव श्रृंखला दी गई है जिसका संक्रमण प्रायिकता आव्यूह P और प्रारंभिक वितरण μ है। आव्यूह In, n कोटि का तत्समक आव्यूह दर्शाता है, और Un एक ऐसा आव्यूह है जहाँ प्रत्येक अवयव 1/n के बराबर है। तब निम्नलिखित में से कौन से कथन आवश्यक रूप से सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 11 Detailed Solution
संप्रत्यय -
परिणाम -
(i) अभिक्रमित मार्कोव श्रृंखला का स्थायी बंटन मौजूद है और यह मार्कोव श्रृंखला के अभिक्रमण गुण द्वारा अद्वितीय है।
(ii) संक्रमण आव्यूह P की प्रत्येक पंक्ति में प्रायिकताओं का योग 1 के बराबर है।
व्याख्या -
परिणामों के अनुसार विकल्प 3 और 4 सही हैं।
दूसरा, संक्रमण आव्यूह की प्रत्येक पंक्ति में प्रायिकताओं का योग हमेशा 1 के बराबर होता है,
मार्कोव श्रृंखला के संदर्भ में एक प्रसंभाव्य आव्यूह या संक्रमण आव्यूह की परिभाषा से। इस आव्यूह की प्रत्येक पंक्ति अगले समय चरण के लिए अवस्थाओं पर एक प्रायिकता वितरण का प्रतिनिधित्व करती है, जो वर्तमान अवस्था को देखते हुए है।
विकल्प (1) और (2) आवश्यक रूप से सही नहीं हैं।
मार्कोव श्रृंखला के गुण, जिसमें लंबी अवधि में इसका व्यवहार या कुछ अवस्थाओं तक पहुँचने की सटीक प्रायिकताएँ शामिल हैं, काफी हद तक सटीक संक्रमण प्रायिकता आव्यूह पर निर्भर करते हैं, न कि केवल अवस्थाओं की संख्या पर।
Probability Question 12:
मान लीजिए कि
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 12 Detailed Solution
व्याख्या -
इस प्रश्न में हम चाहते हैं कि X(8) Z(8) से बड़ा हो, इसका अर्थ है कि हम चाहते हैं कि X का 8वाँ सबसे छोटा क्रम सांख्यिकी Z के 8वें सबसे छोटे क्रम सांख्यिकी से अधिक हो।
Z प्रतिदर्श के भीतर, हम चाहते हैं कि Z(8) का मान 0 और x के बीच हो (चूँकि एकसमान बंटन अंतराल [0, 1] के बीच है)।
उस अंतराल में, हम Zi में से 8 को x से कम चुन रहे हैं, जो पैरामीटर 26 (Z नमूने में 26 Zi के लिए) और x (क्योंकि हम अंतराल [0, x] पर विचार कर रहे हैं) के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है, जिसे
साथ ही, हम चाहते हैं कि X(8) का मान x से बड़ा हो (x और 1 के बीच)।
ऐसे मामलों में, हम केवल 7 Xi को x से कम चुनते हैं, जो प्राचल 25 (X प्रतिदर्श में 25 Xi के लिए) और x (क्योंकि हम अंतराल [0, x] पर विचार कर रहे हैं) के साथ द्विपद बंटन का पालन करता है, जिसे
इसलिए, P(X(8) > Z(8)) समाकल
Probability Question 13:
एक बड़े समुदाय में, यह देखा गया है कि जनसंख्या का अनुपात p ग्लूटेन की एलर्जी से ग्रस्त है। एक यादृच्छिक प्रयोग किया जाता है जहाँ m व्यक्तियों को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उन्हें ग्लूटेन युक्त भोजन दिया जाता है। इस परीक्षण के बाद, कम से कम एक व्यक्ति को ग्लूटेन की एलर्जी की प्रतिक्रिया होती है। निम्नलिखित में से कौन सा सही ढंग से यह प्रायिकता देता है कि अधिकतम तीन m व्यक्तियों को एलर्जी की प्रतिक्रिया हुई?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 13 Detailed Solution
व्याख्या -
यहाँ, हमें सप्रतिबंध प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता है कि अधिकतम तीन व्यक्तियों को एलर्जी की प्रतिक्रिया हुई है, यह देखते हुए कि कम से कम एक व्यक्ति को एलर्जी की प्रतिक्रिया हुई है।
अंश अधिकतम तीन व्यक्तियों के प्रतिक्रिया दिखाने की द्विपद प्रायिकता है:
हर वह प्रायिकता है कि कम से कम एक व्यक्ति एलर्जी की प्रतिक्रिया दिखाता है: 1 - (वह प्रायिकता कि कोई भी एलर्जी की प्रतिक्रिया नहीं दिखाता) =
इसलिए, प्रायिकता के लिए सही व्यंजक होना चाहिए:
इसलिए, सही उत्तर विकल्प (2) है।
Probability Question 14:
एक पूर्णांक m ≥ 3 लीजिये। आपको एक परिमित अवस्था समष्टि {1, 2, …, m} पर एक समघात मार्कोव श्रृंखला दी गई है जिसका संक्रमण प्रायिकता आव्यूह Q और प्रारंभिक वितरण π है। मान लीजिये कि Im क्रम m का तत्समक आव्यूह है और Tm अवस्था 'm' से प्रारंभ होने पर श्रृंखला के अवस्था 'm' पर वापस आने से पहले की समयावधि की संख्या है। यह भी मान लीजिये कि मार्कोव श्रृंखला अकरणीय है, लेकिन आवश्यक रूप से आवर्तकालिक या प्रसामान्य नहीं है। निम्नलिखित में से कौन से कथन आवश्यक रूप से सही हैं?
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 14 Detailed Solution
व्याख्या -
(i) यदि α, Q का एक आइगेनमान है, तो |α| ≤ 1।
यह कथन सत्य है। किसी भी मार्कोव श्रृंखला में, संक्रमण प्रायिकता आव्यूह के किसी भी आइगेनमान का निरपेक्ष मान 1 से कम या उसके बराबर होता है।
(ii) यदि हमारे पास एक स्थिर वितरण सदिश और एक संक्रमण आव्यूह Q है, तो गुणन पर, स्थिर वितरण सदिश अपरिवर्तित रहता है।
यह कथन भी सत्य है। एक स्थिर वितरण π की परिभाषा यह है कि यह संक्रमण प्रायिकता आव्यूह के साथ गुणन के तहत अपरिवर्तित रहता है: πQ = π।
(iii) अनुक्रम {
यह आवश्यक रूप से सत्य नहीं है। यह केवल तभी लागू होता है जब मार्कोव श्रृंखला प्रसामान्य हो, और दी गई धारणा केवल यह बताती है कि श्रृंखला अकरणीय है। अकेला अकरणीयता स्थिर वितरण के अस्तित्व की गारंटी नहीं देती है क्योंकि श्रृंखला आवर्तकालिक हो सकती है।
(iv) यदि Q सममित है, तो π अवस्था समष्टि पर आवश्यक रूप से एक एकसमान वितरण है।
यह कथन सत्य है। यदि संक्रमण आव्यूह Q सममित है, तो मार्कोव श्रृंखला उत्क्रमणीय कही जाती है और स्थिर वितरण सभी अवस्थाओं पर एकसमान होता है।
इसलिए, सही कथन (i), (ii) और (iv) हैं।
Probability Question 15:
0
Answer (Detailed Solution Below)
Probability Question 15 Detailed Solution
व्याख्या -
M/M/1 कतार प्रणाली में, स्थिर अवस्था में हमारे पास यह शर्त है कि प्रणाली एक ज्यामितीय वितरण प्रदर्शित करती है।
प्रत्येक ग्राहक संख्या n ≥ 0 के लिए, प्रायिकता P(n) की गणना
विकल्प (A), (C), और (D) P(n) के लिए गलत व्यंजक प्रस्तावित करते हैं जो M/M/1 कतार प्रणाली मॉडल की आगमन और सेवा दरों के अनुपात (ट्रैफ़िक तीव्रता ρ) द्वारा निहित ज्यामितीय वितरण पैटर्न के अनुरूप नहीं हैं।