Maths MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Maths - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

हल:

हमें दिया गया है:

60% लड़के → P(लड़का) = 0.6

40% लड़कियाँ → P(लड़की) = 0.4

8% लड़कों को 'A' मिला → P(A | लड़का) = 0.08

12% लड़कियों को 'A' मिला → P(A | लड़की) = 0.12

हमें ज्ञात करना है: P(लड़का | A)

बेयस प्रमेय का प्रयोग करें:

P(लड़का | A) = [P(A | लड़का) × P(लड़का)] / P(A)

सबसे पहले, 'A' प्राप्त करने की कुल प्रायिकता की गणना करें:

P(A) = P(A | लड़का) × P(लड़का) + P(A | लड़की) × P(लड़की)

= 0.08 × 0.6 + 0.12 × 0.4

= 0.048 + 0.048 = 0.096

अब, P(लड़का | A) की गणना करें:

P(लड़का | A) = (0.08 × 0.6) / 0.096 = 0.048 / 0.096 = 0.5

दिया गया है: एक संख्या और उसके वर्ग के दोगुने का योग 105 है।

मान लीजिए कि संख्या x है।

प्रयुक्त अवधारणा:

इस समस्या में प्रयास और त्रुटि या तार्किक प्रतिस्थापन का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण को हल करना शामिल है।

समीकरण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: x + 2x² = 105

गणना: चरण दर चरण समीकरण को हल करना प्रारंभ करें: x + 2x² = 105

⇒ x = 7 प्रतिस्थापित करें: 7 + 2 × 7² = 105

यह समीकरण को संतुष्ट करता है।

अंतिम उत्तर:

∴ सही संख्या x = 7 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

और

I.

⇒ P(A∩B) = P(A) P(B|A)

⇒ P(A∩B) = 0.25 x 0.5 = 0.125

अब

⇒

⇒

अब, P(A).P(B) = 0.25 x 0.5 = 0.125 = P(A∩B)

इस प्रकार A और B स्वतंत्र हैं

II.

= 1 - 0.125 = 0.875

III.

= 1 - [P(A) + P(B) - P(A ∩ B)]

= 1 - [0.25 + 0.5 - 0.125]

= = 1 - 0.625 = 0.375

इसलिए सभी कथन I, II और III सही हैं।

∴ विकल्प (d) सही है।

अवधारणा:

आँकड़ा समुच्चय का माध्य और माध्यिका

• माध्य सभी आँकड़ा मानों का औसत है:

  माध्य = (सभी मानों का योग) / (मानों की संख्या)

• माध्यिका वह मध्य मान है जब आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।
• मानों की सम संख्या के लिए, माध्यिका = दो मध्य पदों का औसत।

व्याख्या:

• दिया गया आँकड़ा: {25, 29, 25, 32, 24, x}
• माध्य = 27
• कुल योग = 6 × 27 = 162
• ज्ञात मानों का योग = 25 + 29 + 25 + 32 + 24 = 135
• इसलिए, x = 162 - 135 = 27

अंतिम आँकड़ा समुच्चय: {24, 25, 25, 27, 29, 32}

• आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 24, 25, 25, 27, 29, 32
• मध्य दो मान = 25 और 27
• माध्यिका = (25 + 27) / 2 = 26

सही उत्तर 26 है।

व्याख्या:

• वराहमिहिर (505-587 ईस्वी) उज्जैन के एक प्रसिद्ध भारतीय गणितज्ञ, खगोलशास्त्री और ज्योतिषी थे।
• उन्होंने त्रिकोणमिति, बीजगणित और खगोल विज्ञान में महत्वपूर्ण योगदान दिया।
• उनका कार्य यूनानी, रोमन और आर्यभट्ट जैसे पूर्व भारतीय विद्वानों से प्रभावित था।
• 'पंच सिद्धांतिका' क्या है?
  • 'पंच सिद्धांतिका' (पांच खगोलीय ग्रंथ) वराहमिहिर का सबसे प्रसिद्ध कार्य है।
  • यह पांच प्राचीन खगोलीय ग्रंथों का संकलन है, जिसमें भारतीय और यूनानी प्रभाव शामिल हैं।
  • इसमें त्रिकोणमितीय अवधारणाएँ और ज्या सारणियाँ शामिल हैं, जो खगोल विज्ञान में गणनाओं के लिए महत्वपूर्ण थीं।
• 'पंच सिद्धांतिका' महत्वपूर्ण क्यों है?
  1. त्रिकोणमिति का विकास
     • इसने ज्या सारणियों (अंग्रेजी में 'sine' के रूप में जाना जाता है) को प्रस्तुत किया और बेहतर बनाया।
     • इसने ग्रहों की गति और ग्रहणों के लिए त्रिकोणमितीय गणनाओं को परिष्कृत किया।
  2. बाद के गणित पर प्रभाव
     • उनकी त्रिकोणमितीय अवधारणाओं को बाद में ब्रह्मगुप्त और भास्कर द्वितीय द्वारा विस्तारित किया गया।
     • उनकी रचना ने भारतीय और हेलेनिस्टिक गणितीय परंपराओं को जोड़ा, जिससे बाद के इस्लामी और यूरोपीय खगोलविदों पर प्रभाव पड़ा।
  3. खगोलीय योगदान
     • उन्होंने भारतीय और यूनानी दोनों स्रोतों के आधार पर ग्रहों की गति के मॉडल में सुधार किया।
     • उन्होंने आर्यभट्ट की ग्रहों की गणनाओं को सही किया, जिससे उनकी सटीकता में सुधार हुआ।
• निष्कर्ष:
  • वराहमिहिर की 'पंच सिद्धांतिका' भारतीय खगोल विज्ञान और त्रिकोणमिति में एक मौलिक ग्रंथ है।
  • उनकी रचना ने ज्या फलनों की नींव रखी, जिसने बाद में आधुनिक त्रिकोणमिति को प्रभावित किया।

दिया गया है: एक संख्या और उसके वर्ग के दोगुने का योग 105 है।

मान लीजिए कि संख्या x है।

प्रयुक्त अवधारणा:

इस समस्या में प्रयास और त्रुटि या तार्किक प्रतिस्थापन का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण को हल करना शामिल है।

समीकरण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: x + 2x² = 105

गणना: चरण दर चरण समीकरण को हल करना प्रारंभ करें: x + 2x² = 105

⇒ x = 7 प्रतिस्थापित करें: 7 + 2 × 7² = 105

यह समीकरण को संतुष्ट करता है।

अंतिम उत्तर:

∴ सही संख्या x = 7 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

और

I.

⇒ P(A∩B) = P(A) P(B|A)

⇒ P(A∩B) = 0.25 x 0.5 = 0.125

अब

⇒

⇒

अब, P(A).P(B) = 0.25 x 0.5 = 0.125 = P(A∩B)

इस प्रकार A और B स्वतंत्र हैं

II.

= 1 - 0.125 = 0.875

III.

= 1 - [P(A) + P(B) - P(A ∩ B)]

= 1 - [0.25 + 0.5 - 0.125]

= = 1 - 0.625 = 0.375

इसलिए सभी कथन I, II और III सही हैं।

∴ विकल्प (d) सही है।

दिया गया है:

समीकरणों का निकाय:

4/x + 3y = 14

3/x - 4y = 23

गणना:

माना, 1/x = a है, तब समीकरण बन जाते हैं:

4a + 3y = 14

3a - 4y = 23

y को समाप्त करने के लिए पहले समीकरण को 4 से और दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करने पर:

⇒ 16a + 12y = 56

⇒ 9a - 12y = 69

इन समीकरणों को जोड़ने पर:

⇒ 16a + 12y + 9a - 12y = 56 + 69

⇒ 25a = 125 ⇒ a = 5

इसलिए, 1/x = 5 ⇒ x = 1/5

पहले समीकरण में a = 5 रखने पर:

⇒ 4(5) + 3y = 14

⇒ 20 + 3y = 14

⇒ 3y = -6 ⇒ y = -2

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है:

बिंदु 1 (x₁, y₁) = (3, 4)

बिंदु 2 (x₂, y₂) = (4, 5)

प्रयुक्त सूत्र:

प्रवणता (m) = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

प्रवणता का कोण (θ) = tan⁻¹(m)

गणना:

प्रवणता (m) = (5 - 4) / (4 - 3) = 1 / 1 = 1

प्रवणता का कोण (θ) = tan⁻¹(1)

⇒ θ = 45°

रेखा की प्रवणता का कोण 45° है।

दिया गया है:

सिक्कों की कुल संख्या = 50

कुल राशि = 11.25 रुपये

माना, 20 पैसे के सिक्कों की संख्या x है। 

माना, 25 पैसे के सिक्कों की संख्या y है। 

प्रयुक्त सूत्र:

x + y = 50

0.20x + 0.25y = 11.25

गणना:

पहले समीकरण से:

y = 50 - x

दूसरे समीकरण में y प्रतिस्थापित कीजिए:

0.20x + 0.25(50 - x) = 11.25

⇒ 0.20x + 12.5 - 0.25x = 11.25

⇒ -0.05x + 12.5 = 11.25

⇒ -0.05x = 11.25 - 12.5

⇒ -0.05x = -1.25

⇒ x = -1.25 / -0.05

⇒ x = 25

पहले समीकरण में x = 25 प्रतिस्थापित कीजिए:

y = 50 - 25

⇒ y = 25

उस आदमी के पास 20 पैसे के 25 सिक्के और 25 पैसे के 25 सिक्के हैं।

हल:

हमें दिया गया है:

60% लड़के → P(लड़का) = 0.6

40% लड़कियाँ → P(लड़की) = 0.4

8% लड़कों को 'A' मिला → P(A | लड़का) = 0.08

12% लड़कियों को 'A' मिला → P(A | लड़की) = 0.12

हमें ज्ञात करना है: P(लड़का | A)

बेयस प्रमेय का प्रयोग करें:

P(लड़का | A) = [P(A | लड़का) × P(लड़का)] / P(A)

सबसे पहले, 'A' प्राप्त करने की कुल प्रायिकता की गणना करें:

P(A) = P(A | लड़का) × P(लड़का) + P(A | लड़की) × P(लड़की)

= 0.08 × 0.6 + 0.12 × 0.4

= 0.048 + 0.048 = 0.096

अब, P(लड़का | A) की गणना करें:

P(लड़का | A) = (0.08 × 0.6) / 0.096 = 0.048 / 0.096 = 0.5

समस्या-समाधान विधि एक ऐसा निर्देशात्मक दृष्टिकोण है जो छात्रों को गंभीर चिंतन और पूछताछ के माध्यम से समस्याओं की पहचान, विश्लेषण और समाधान करने में शामिल करता है।

Key Points

• एक संरचित और पूछताछ-आधारित दृष्टिकोण होने के कारण, समस्या-समाधान विधि आम तौर पर समय की बचत करने वाली विधि नहीं है।
• वास्तव में, इसे पारंपरिक विधियों की तुलना में अधिक समय की आवश्यकता होती है क्योंकि छात्र कई संभावनाओं का पता लगाते हैं, जानकारी एकत्र करते हैं, समाधानों का परीक्षण करते हैं और अपने निष्कर्षों पर विचार करते हैं।
• ध्यान त्वरित सामग्री कवरेज के बजाय गहरी समझ पर है।
• जबकि यह सार्थक शिक्षा को बढ़ावा देने में अत्यधिक फायदेमंद है, इसे योजना, निष्पादन और चर्चा के लिए काफी कक्षा समय की आवश्यकता होती है।

Hint

• वैज्ञानिक दृष्टिकोण के विकास में मदद करना एक प्रमुख ताकत है, क्योंकि छात्र तार्किक रूप से सोचना, मान्यताओं पर सवाल उठाना और साक्ष्य-आधारित निष्कर्ष निकालना सीखते हैं।
• वैज्ञानिक पद्धति में प्रशिक्षण इस दृष्टिकोण में स्वाभाविक रूप से होता है क्योंकि शिक्षार्थी समस्या की पहचान, परिकल्पना निर्माण, प्रयोग और मूल्यांकन जैसे चरणों से गुजरते हैं।
• एक शिक्षार्थी-केंद्रित विधि होने के नाते, यह शिक्षण प्रक्रिया के केंद्र में छात्र को रखता है, स्वायत्तता, जिज्ञासा और सक्रिय भागीदारी को प्रोत्साहित करता है।

इसलिए, सही उत्तर समय की बचत करने वाली विधि है।

दिया गया है: एक संख्या और उसके वर्ग के दोगुने का योग 105 है।

मान लीजिए कि संख्या x है।

प्रयुक्त अवधारणा:

इस समस्या में प्रयास और त्रुटि या तार्किक प्रतिस्थापन का उपयोग करके एक द्विघात समीकरण को हल करना शामिल है।

समीकरण को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है: x + 2x² = 105

गणना: चरण दर चरण समीकरण को हल करना प्रारंभ करें: x + 2x² = 105

⇒ x = 7 प्रतिस्थापित करें: 7 + 2 × 7² = 105

यह समीकरण को संतुष्ट करता है।

अंतिम उत्तर:

∴ सही संख्या x = 7 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

और

I.

⇒ P(A∩B) = P(A) P(B|A)

⇒ P(A∩B) = 0.25 x 0.5 = 0.125

अब

⇒

⇒

अब, P(A).P(B) = 0.25 x 0.5 = 0.125 = P(A∩B)

इस प्रकार A और B स्वतंत्र हैं

II.

= 1 - 0.125 = 0.875

III.

= 1 - [P(A) + P(B) - P(A ∩ B)]

= 1 - [0.25 + 0.5 - 0.125]

= = 1 - 0.625 = 0.375

इसलिए सभी कथन I, II और III सही हैं।

∴ विकल्प (d) सही है।

अवधारणा:

आँकड़ा समुच्चय का माध्य और माध्यिका

• माध्य सभी आँकड़ा मानों का औसत है:

  माध्य = (सभी मानों का योग) / (मानों की संख्या)

• माध्यिका वह मध्य मान है जब आँकड़ों को आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।
• मानों की सम संख्या के लिए, माध्यिका = दो मध्य पदों का औसत।

व्याख्या:

• दिया गया आँकड़ा: {25, 29, 25, 32, 24, x}
• माध्य = 27
• कुल योग = 6 × 27 = 162
• ज्ञात मानों का योग = 25 + 29 + 25 + 32 + 24 = 135
• इसलिए, x = 162 - 135 = 27

अंतिम आँकड़ा समुच्चय: {24, 25, 25, 27, 29, 32}

• आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 24, 25, 25, 27, 29, 32
• मध्य दो मान = 25 और 27
• माध्यिका = (25 + 27) / 2 = 26

सही उत्तर 26 है।