First order Differential Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for First order Differential Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Jun 27, 2025
Latest First order Differential Equation MCQ Objective Questions
First order Differential Equation Question 1:
का हल है:
Answer (Detailed Solution Below)
First order Differential Equation Question 1 Detailed Solution
व्याख्या:
दोनों ओर x log x से भाग देने पर
(dy /dx) + (y / (x log x)) = 4 / x
यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका रूप है:
(dy/dx) + P(x)y = Q(x)
जहाँ: P(x) = 1 / (x log x) और Q(x) = 4 / x
समाकलन गुणक दिया गया है:
u = log x
तो du = (1/x) dx
इसलिए: ∫(1 / (x log x)) dx = ∫(1/u) du = ln |u| = ln |log x|
इसलिए, समाकलन गुणक है:
समीकरण को समाकलन गुणक से गुणा करने पर:
|log x| (dy/dx) + (|log x| y / (x log x)) = 4|log x| / x
|log x| (dy/dx) + (y / x) = 4|log x| / x
∫ d/dx (y |log x|) dx = ∫ 4|log x| / x dx
y |log x| = 2(log x)² + C
जहाँ C समाकलन अचर है
y = (2(log x)² + C) / |log x|
इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण का हल है:
y = 2 log x + C / |log x|
अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।
First order Differential Equation Question 2:
अवकल समीकरण
Answer (Detailed Solution Below)
First order Differential Equation Question 2 Detailed Solution
अवधारणा:
यदि
जहाँ P और Q केवल x के फलन हैं, तब
इसका समाकलन गुणक है और
इसका हल इस प्रकार दिया गया है
y
व्याख्या:
दिया गया अवकल समीकरण है:
⇒
दोनों पक्षों को
⇒
तब
अब
⇒
यह प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है:
I.F=
सामान्य हल होगा:
जहाँ C एक स्वेच्छ अचर है।
अब u का मान y के पदों में रखने पर:
⇒
इसलिए, विकल्प (1) सही उत्तर है।
First order Differential Equation Question 3:
मान लीजिये y(x) अवकल समीकरण
का हल है जो y(0) = 0 को संतुष्ट करता है। तब, y
Answer (Detailed Solution Below)
First order Differential Equation Question 3 Detailed Solution
व्याख्या:
जो कि प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण है
जहाँ
अब प्रथम कोटि अवकल समीकरण का हल है;
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
इसलिए विकल्प (1) सही उत्तर है।
First order Differential Equation Question 4:
-x dy + y dx +
Answer (Detailed Solution Below)
First order Differential Equation Question 4 Detailed Solution
संकल्पना:
एक सामान्य अवकल समीकरण (ODE), Mdx + Ndy को यतातथ कहा जाता है यदि और केवल यदि
स्पष्टीकरण:
दिया गया ODE
-x dy + y dx +
⇒ (y +
सामान्य रूप से तुलना करने पर,
M = y + e1/x, N = -x
⇒ My = 1, Nx = -1
चूँकि दोनों समान नहीं हैं इसलिए ODE यतातथ नहीं है।
अब, My - Nx = 2
(1):
⇒ IF =
(1) सत्य है।
(2):
⇒
(2) असत्य है।
(3):
⇒
(3) असत्य है।
(4):
⇒
(4) असत्य है।
First order Differential Equation Question 5:
मान लीजिए कि y : ℝ → ℝ निम्न प्रारंभिक मान समस्या को संतुष्ट करता है
y'(t) = 1 - y2(t), t ∈ R, y(0) = 0 तब
Answer (Detailed Solution Below)
First order Differential Equation Question 5 Detailed Solution
व्याख्या:
y'(t) = 1 - y2(t)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
दिया गया है y(0) = 0
0 = 0 + c ⇒ c = 0
इसलिए,
योगांतरानुपात नियम का उपयोग करने पर,
y(t) > -1 और y, ℝ में निरंतर वर्धमान है।
विकल्प (2), (3) सही हैं।
Top First order Differential Equation MCQ Objective Questions
First order Differential Equation Question 6:
-x dy + y dx +
Answer (Detailed Solution Below)
First order Differential Equation Question 6 Detailed Solution
संकल्पना:
एक सामान्य अवकल समीकरण (ODE), Mdx + Ndy को यतातथ कहा जाता है यदि और केवल यदि
स्पष्टीकरण:
दिया गया ODE
-x dy + y dx +
⇒ (y +
सामान्य रूप से तुलना करने पर,
M = y + e1/x, N = -x
⇒ My = 1, Nx = -1
चूँकि दोनों समान नहीं हैं इसलिए ODE यतातथ नहीं है।
अब, My - Nx = 2
(1):
⇒ IF =
(1) सत्य है।
(2):
⇒
(2) असत्य है।
(3):
⇒
(3) असत्य है।
(4):
⇒
(4) असत्य है।
First order Differential Equation Question 7:
मान लीजिए कि y : ℝ → ℝ निम्न प्रारंभिक मान समस्या को संतुष्ट करता है
y'(t) = 1 - y2(t), t ∈ R, y(0) = 0 तब
Answer (Detailed Solution Below)
First order Differential Equation Question 7 Detailed Solution
व्याख्या:
y'(t) = 1 - y2(t)
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,
दिया गया है y(0) = 0
0 = 0 + c ⇒ c = 0
इसलिए,
योगांतरानुपात नियम का उपयोग करने पर,
y(t) > -1 और y, ℝ में निरंतर वर्धमान है।
विकल्प (2), (3) सही हैं।
First order Differential Equation Question 8:
ODE पर विचार करें। y(2) का मान प्राप्त करें।
Answer (Detailed Solution Below)
First order Differential Equation Question 8 Detailed Solution
First order Differential Equation Question 9:
मान लीजिए कि f : ℝ2 + ℝ2 शून्येतर मसृण (smooth) सदिश क्षेत्र है जो divf ≠ 0 को संतुष्ट करता हो। निम्न में कौन से अनिवार्यता: ODE
Answer (Detailed Solution Below)
First order Differential Equation Question 9 Detailed Solution
व्याख्या:
स्मरण करते हैं: div f =
=
ℝ2 में, यदि div f ≠ 0 ⇒ कोई स्थिर बिंदु नहीं है।
⇒ कोई साम्यावस्था बिंदु नहीं है।
मान लीजिये, f(x, y) = exî + eyĵ तब div f ≠ 0 और मसृण सदिश क्षेत्र।
यहाँ, f आवर्ती नहीं है ⇒ कोई आवर्ती हल नहीं है।
इसके अलावा, f परिबद्ध नहीं है ⇒ हल परिबद्ध नहीं है।
विधि-II
दिया गया है, f ≠ 0, div f ≠ 0 ⇒ k(x) ≠ 0, ∀ x ∈ R
अब, साम्यावस्था बिंदु के लिए, x = 0 ⇒ f(x) = 0 जो कि विरोधाभास है क्योंकि f(x) ≠ 0 (दिया गया है)
⇒ कोई साम्यावस्था बिंदु नहीं है
विकल्प (1) सही है।
यदि आवर्ती हल हैं तो ∃ x0 ∈ ℝ s. t. f(x0) = 0 लेकिन f(x) ≠ 0 ∀ x ∈ R ⇒ कोई आवर्ती हल नहीं है।
विकल्प (2) सही है।
स्मरण करें: आवर्ती ⇒ परिबद्ध
∴ हल अपरिबद्ध हैं।
परिबद्ध नहीं हो सकते।
विकल्प (3) सही नहीं है और विकल्प (4) सही है।
First order Differential Equation Question 10:
का हल है:
Answer (Detailed Solution Below)
First order Differential Equation Question 10 Detailed Solution
व्याख्या:
दोनों ओर x log x से भाग देने पर
(dy /dx) + (y / (x log x)) = 4 / x
यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका रूप है:
(dy/dx) + P(x)y = Q(x)
जहाँ: P(x) = 1 / (x log x) और Q(x) = 4 / x
समाकलन गुणक दिया गया है:
u = log x
तो du = (1/x) dx
इसलिए: ∫(1 / (x log x)) dx = ∫(1/u) du = ln |u| = ln |log x|
इसलिए, समाकलन गुणक है:
समीकरण को समाकलन गुणक से गुणा करने पर:
|log x| (dy/dx) + (|log x| y / (x log x)) = 4|log x| / x
|log x| (dy/dx) + (y / x) = 4|log x| / x
∫ d/dx (y |log x|) dx = ∫ 4|log x| / x dx
y |log x| = 2(log x)² + C
जहाँ C समाकलन अचर है
y = (2(log x)² + C) / |log x|
इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण का हल है:
y = 2 log x + C / |log x|
अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।
First order Differential Equation Question 11:
अवकल समीकरण
Answer (Detailed Solution Below)
First order Differential Equation Question 11 Detailed Solution
अवधारणा:
यदि
जहाँ P और Q केवल x के फलन हैं, तब
इसका समाकलन गुणक है और
इसका हल इस प्रकार दिया गया है
y
व्याख्या:
दिया गया अवकल समीकरण है:
⇒
दोनों पक्षों को
⇒
तब
अब
⇒
यह प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है:
I.F=
सामान्य हल होगा:
जहाँ C एक स्वेच्छ अचर है।
अब u का मान y के पदों में रखने पर:
⇒
इसलिए, विकल्प (1) सही उत्तर है।
First order Differential Equation Question 12:
मान लीजिये y(x) अवकल समीकरण
का हल है जो y(0) = 0 को संतुष्ट करता है। तब, y
Answer (Detailed Solution Below)
First order Differential Equation Question 12 Detailed Solution
व्याख्या:
जो कि प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण है
जहाँ
अब प्रथम कोटि अवकल समीकरण का हल है;
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
इसलिए विकल्प (1) सही उत्तर है।