First order Differential Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for First order Differential Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दोनों ओर x log x से भाग देने पर

(dy /dx) + (y / (x log x)) = 4 / x

यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका रूप है:

(dy/dx) + P(x)y = Q(x)

जहाँ: P(x) = 1 / (x log x) और Q(x) = 4 / x

समाकलन गुणक दिया गया है:

u = log x

तो du = (1/x) dx

इसलिए: ∫(1 / (x log x)) dx = ∫(1/u) du = ln |u| = ln |log x|

इसलिए, समाकलन गुणक है:

समीकरण को समाकलन गुणक से गुणा करने पर:

|log x| (dy/dx) + (|log x| y / (x log x)) = 4|log x| / x

|log x| (dy/dx) + (y / x) = 4|log x| / x

∫ d/dx (y |log x|) dx = ∫ 4|log x| / x dx

y |log x| = 2(log x)² + C

जहाँ C समाकलन अचर है

y = (2(log x)² + C) / |log x|

इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण का हल है:

y = 2 log x + C / |log x|

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।

अवधारणा:

यदि

जहाँ P और Q केवल x के फलन हैं, तब

इसका समाकलन गुणक है और

इसका हल इस प्रकार दिया गया है

y (I.F.)=∫Q(I.F.) dx+ C

व्याख्या:

दिया गया अवकल समीकरण है:

+ y =

⇒ + y =

दोनों पक्षों को  से भाग देने पर:

⇒ + =

 रखने पर,

तब = (-5)

अब + u =

⇒ - u = -5

यह प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है:

I.F= =

सामान्य हल होगा:

= + C

जहाँ C एक स्वेच्छ अचर है।

अब u का मान y के पदों में रखने पर:

= + C

⇒ = + C

इसलिए, विकल्प (1) सही उत्तर है।

व्याख्या:

जो कि प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण है

जहाँ

अब प्रथम कोटि अवकल समीकरण का हल है;

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

इसलिए विकल्प (1) सही उत्तर है।

संकल्पना:

एक सामान्य अवकल समीकरण (ODE), Mdx + Ndy को यतातथ कहा जाता है यदि और केवल यदि

स्पष्टीकरण:

दिया गया ODE

-x dy + y dx +  dx = 0

⇒ (y + )dx - x dy = 0 

सामान्य रूप से तुलना करने पर,

M = y + e^1/x, N = -x

⇒ M_y = 1, N_x = -1

चूँकि दोनों समान नहीं हैं इसलिए ODE यतातथ नहीं है।

अब, M_y - N_x = 2

(1):  = f(x) 

⇒ IF =  

(1) सत्य है। 

(2):  = f(x,y), y का फलन नहीं है। 

⇒   कोई भी I.F. जो कि केवल y का एक फलन है।

(2) असत्य है। 

(3): , u = x.y का फलन नहीं है। 

⇒  कोई भी I.F जो केवल u का एक फलन है। 

(3) असत्य है। 

(4): 

 , का फलन नहीं है। 

⇒  कोई भी I.F जो केवल u का फलन है, u = 

(4) असत्य है। 

व्याख्या:

y'(t) = 1 - y2(t)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

= t + c

दिया गया है y(0) = 0

0 = 0 + c ⇒ c = 0

इसलिए,

= t

= 2t

= e^2t

योगांतरानुपात नियम का उपयोग करने पर,

y(t) > -1 और y, ℝ में निरंतर वर्धमान है। 

विकल्प (2), (3) सही हैं। 

संकल्पना:

एक सामान्य अवकल समीकरण (ODE), Mdx + Ndy को यतातथ कहा जाता है यदि और केवल यदि

स्पष्टीकरण:

दिया गया ODE

-x dy + y dx +  dx = 0

⇒ (y + )dx - x dy = 0 

सामान्य रूप से तुलना करने पर,

M = y + e^1/x, N = -x

⇒ M_y = 1, N_x = -1

चूँकि दोनों समान नहीं हैं इसलिए ODE यतातथ नहीं है।

अब, M_y - N_x = 2

(1):  = f(x) 

⇒ IF =  

(1) सत्य है। 

(2):  = f(x,y), y का फलन नहीं है। 

⇒   कोई भी I.F. जो कि केवल y का एक फलन है।

(2) असत्य है। 

(3): , u = x.y का फलन नहीं है। 

⇒  कोई भी I.F जो केवल u का एक फलन है। 

(3) असत्य है। 

(4): 

 , का फलन नहीं है। 

⇒  कोई भी I.F जो केवल u का फलन है, u = 

(4) असत्य है। 

व्याख्या:

y'(t) = 1 - y2(t)

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

= t + c

दिया गया है y(0) = 0

0 = 0 + c ⇒ c = 0

इसलिए,

= t

= 2t

= e^2t

योगांतरानुपात नियम का उपयोग करने पर,

y(t) > -1 और y, ℝ में निरंतर वर्धमान है। 

विकल्प (2), (3) सही हैं। 

हल:

xyp2 - (x2 + y2 - 1)p + xy = 0.....(i) जहाँ p =

मान लीजिए x² = u और y² = v, P = और Q =

तो Q = ⇒ p =

फिर (i) में p का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है:

xy - (x2 + y2 - 1) + xy = 0

दोनों पक्षों को y/x से गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है

x2Q2 - (x2 + y2 - 1)Q + y2 = 0

uQ2 - (u + v - 1)Q + v = 0

गुणनखंड करने पर हमें प्राप्त होता है:

(Q - 1)(uQ - v) = - Q

uQ - v = -

v = uQ - ....(ii)

u के संबंध में विभेदन

Q = Q + u +

(u + ) = 0

⇒ = 0 ⇒ Q = c और

u = - ⇒ u = - ⇒ c = 1 + ⇒ c = 1 +

अतः (ii) ⇒ v = uc -

c को 1 + से प्रतिस्थापित करने पर, u = x², v = y² हमें एकवचन हल प्राप्त होता है। 

y2 = x2 + 2x + 1

⇒ y2 = (x - 1)2

अतः सही विकल्प (2) है।  

व्याख्या:

स्मरण करते हैं: div f =

=

ℝ2 में, यदि div f ≠ 0 ⇒ कोई स्थिर बिंदु नहीं है।

⇒ कोई साम्यावस्था बिंदु नहीं है।

मान लीजिये, f(x, y) = exî + eyĵ तब div f ≠ 0 और मसृण सदिश क्षेत्र।

यहाँ, f आवर्ती नहीं है ⇒ कोई आवर्ती हल नहीं है।

इसके अलावा, f परिबद्ध नहीं है ⇒ हल परिबद्ध नहीं है।

विधि-II

दिया गया है, f ≠ 0, div f ≠ 0 ⇒ k(x) ≠ 0, ∀ x ∈ R

अब, साम्यावस्था बिंदु के लिए, x = 0 ⇒ f(x) = 0 जो कि विरोधाभास है क्योंकि f(x) ≠ 0 (दिया गया है)

⇒ कोई साम्यावस्था बिंदु नहीं है

विकल्प (1) सही है।

यदि आवर्ती हल हैं तो ∃ x0 ∈ ℝ s. t. f(x0) = 0 लेकिन f(x) ≠ 0 ∀ x ∈ R ⇒ कोई आवर्ती हल नहीं है।

विकल्प (2) सही है।

स्मरण करें: आवर्ती ⇒ परिबद्ध

∴ हल अपरिबद्ध हैं।

परिबद्ध नहीं हो सकते।

विकल्प (3) सही नहीं है और विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

दोनों ओर x log x से भाग देने पर

(dy /dx) + (y / (x log x)) = 4 / x

यह प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है जिसका रूप है:

(dy/dx) + P(x)y = Q(x)

जहाँ: P(x) = 1 / (x log x) और Q(x) = 4 / x

समाकलन गुणक दिया गया है:

u = log x

तो du = (1/x) dx

इसलिए: ∫(1 / (x log x)) dx = ∫(1/u) du = ln |u| = ln |log x|

इसलिए, समाकलन गुणक है:

समीकरण को समाकलन गुणक से गुणा करने पर:

|log x| (dy/dx) + (|log x| y / (x log x)) = 4|log x| / x

|log x| (dy/dx) + (y / x) = 4|log x| / x

∫ d/dx (y |log x|) dx = ∫ 4|log x| / x dx

y |log x| = 2(log x)² + C

जहाँ C समाकलन अचर है

y = (2(log x)² + C) / |log x|

इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण का हल है:

y = 2 log x + C / |log x|

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।

अवधारणा:

यदि

जहाँ P और Q केवल x के फलन हैं, तब

इसका समाकलन गुणक है और

इसका हल इस प्रकार दिया गया है

y (I.F.)=∫Q(I.F.) dx+ C

व्याख्या:

दिया गया अवकल समीकरण है:

+ y =

⇒ + y =

दोनों पक्षों को  से भाग देने पर:

⇒ + =

 रखने पर,

तब = (-5)

अब + u =

⇒ - u = -5

यह प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है:

I.F= =

सामान्य हल होगा:

= + C

जहाँ C एक स्वेच्छ अचर है।

अब u का मान y के पदों में रखने पर:

= + C

⇒ = + C

इसलिए, विकल्प (1) सही उत्तर है।

व्याख्या:

जो कि प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण है

जहाँ

अब प्रथम कोटि अवकल समीकरण का हल है;

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

इसलिए विकल्प (1) सही उत्तर है।