Definition of Fourier Series MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Definition of Fourier Series - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 15, 2025
Latest Definition of Fourier Series MCQ Objective Questions
Definition of Fourier Series Question 1:
तरंग V(t) = 10 sin (2π 100t) द्वारा दिया गया है। इसकी फूरियर श्रृंखला निरूपण में दूसरे हार्मोनिक्स का परिमाण क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Definition of Fourier Series Question 1 Detailed Solution
- दिया गया तरंग स्वयं एक त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला रूप में है जिसमें केवल मौलिक घटक होते हैं।
- अन्य सभी हार्मोनिक्स अनुपस्थित हैं।
- इसलिए दूसरे हार्मोनिक का परिमाण 0 V है
Definition of Fourier Series Question 2:
फ़ोरियर श्रेणी _________ संकेतों पर लागू होती है।
Answer (Detailed Solution Below)
Definition of Fourier Series Question 2 Detailed Solution
फोरियर श्रेणी:
एक फ़ोरियर श्रेणी एक सतत और आवर्ती फलन f(x) का एक अनंत योग के रूप में साइन और कोसाइन का विस्तार है।
फ़ोरियर श्रेणी का उपयोग साइन और कोसाइन फलनों के लांबिकता संबंधों के लिए किया जाता है।
उन फलनों के लिए जो आवर्ती नहीं हैं, फ़ोरियर श्रेणी को फ़ोरियर रूपांतर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
आवर्ती संकेतों के लिए यह प्रतिनिधित्व असतत-समय फ़ोरियर श्रेणी बन जाता है, और अनावर्ती संकेतों के लिए यह असतत-समय फ़ोरियर रूपांतर बन जाता है।
सतत फ़ोरियर रूपांतर:
एक सतत और अनावर्ती समय संकेत x(t) के लिए सबसे सामान्य रूप में फ़ोरियर रूपांतर जोड़ी।
असतत समय फोरियर श्रेणी:
एक असतत और आवर्ती समय संकेत x(t) के लिए सबसे सामान्य रूप में फ़ोरियर रूपांतर जोड़ी।
Definition of Fourier Series Question 3:
फ़ोरियर श्रेणी _________ संकेतों पर लागू होती है।
Answer (Detailed Solution Below)
Definition of Fourier Series Question 3 Detailed Solution
फोरियर श्रेणी:
एक फ़ोरियर श्रेणी एक सतत और आवर्ती फलन f(x) का एक अनंत योग के रूप में साइन और कोसाइन का विस्तार है।
फ़ोरियर श्रेणी का उपयोग साइन और कोसाइन फलनों के लांबिकता संबंधों के लिए किया जाता है।
उन फलनों के लिए जो आवर्ती नहीं हैं, फ़ोरियर श्रेणी को फ़ोरियर रूपांतर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
आवर्ती संकेतों के लिए यह प्रतिनिधित्व असतत-समय फ़ोरियर श्रेणी बन जाता है, और अनावर्ती संकेतों के लिए यह असतत-समय फ़ोरियर रूपांतर बन जाता है।
सतत फ़ोरियर रूपांतर:
एक सतत और अनावर्ती समय संकेत x(t) के लिए सबसे सामान्य रूप में फ़ोरियर रूपांतर जोड़ी।
असतत समय फोरियर श्रेणी:
एक असतत और आवर्ती समय संकेत x(t) के लिए सबसे सामान्य रूप में फ़ोरियर रूपांतर जोड़ी।
Definition of Fourier Series Question 4:
समय के एक सम आवर्ती फलन की त्रिकोणमितीय फूरियर श्रेणी में नहीं होता है
Answer (Detailed Solution Below)
Definition of Fourier Series Question 4 Detailed Solution
यदि कोई फलन सम और वास्तविक आवर्ती है तो उसकी फूरियर श्रेणी में केवल कोसाइन पद होते हैं:
f(x) = a0 + a1 cos ω0 t + a2 cos 2 ω0 t + …
यदि कोई फलन विषम और वास्तविक आवर्ती है तो उसकी फूरियर श्रेणी में केवल साइन पद होते हैं।
f(x) = a0 + b1 sin ω0 t + b2 sin 2 ω0 t + b3 sin 3 ω0 t + …
महत्वपूर्ण बिंदु:
- एक आवर्ती फलन के लिए, फूरियर श्रेणी दी गई है
- यदि f(x) = f(-x) तो एक फलन को सम कहा जाता है और यदि f(x) = -f(-x) तो उसे विषम कहा जाता है
Definition of Fourier Series Question 5:
A + B का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Definition of Fourier Series Question 5 Detailed Solution
अवधारणा :
समय डोमेन में सिग्नल का फूरियर रूपांतरण इस प्रकार दिया गया है:
f(t) = e-t u(t) के लिए
गणना :
A = 2, B = 3
A + B = 5Top Definition of Fourier Series MCQ Objective Questions
sgn(cos(t)) के फूरियर श्रृंखला विस्तार में _________ है। जहां sgn साइनम फलन का प्रतिनिधित्व करता है
Answer (Detailed Solution Below)
Definition of Fourier Series Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
सम समरूपताएं:
एक सम संकेत का FS विस्तार साइन पद को सन्तुष्ट नहीं करता है
विषम समरूपता:
विषम संकेत के FS विस्तार में केवल साइन पद होता है।
अर्ध तरंग समरूपता:
समय स्थानांतरण
1 = -eJnπ
1 + (ejπ)n = 0
∴ eπj = -1
1 + (-1)n = 0 -----(1)
समीकरण (1) n = विषम पूर्णांक के लिए संतुष्ट होगा
nω 0 = विषम हार्मोनिक
∴ HWS के FS विस्तार में केवल विषम हार्मोनिक होता है
सम + H.W.S:
⇒ HWS सिग्नल के FS विस्तार में विषम हार्मोनिक के साथ cos पद शामिल हैं।
विषम हार्मोनिक के साथ Cos शर्तें
विषम + H.W.S
विषम H.W.S सिग्नल के F.S विस्तार में विषम हार्मोनिक्स के साथ साइन पद शामिल हैं।
विश्लेषण:
यह वर्ग तरंग का प्रतिनिधित्व करता है, जो एक सम और अर्ध-तरंग समरूपता फलन है, इसमें सभी विषम हार्मोनिक्स के लिए कोसाइन पद शामिल हैं।
एक विषम आवधिक फलन की फूरियर श्रृंखला में केवल _______ होता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Definition of Fourier Series Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFफोरियर श्रेणी:
अंतराल α
जहाँ
एक सम फलन कोई भी फलन f ऐसा होता है कि f(-x) = f(x)
उदाहरण: cos x, sec x, x2, x4, x6 …….., x-2, x-4 ……..
एक विषम फलन कोई फलन f ऐसा होता है कि f(-x) = -f(x)
उदाहरण: sin x, tan x, cosec x, cot x, n, x3 ……., x-1, x-3 ……..
जहाँ f अवधि 2L का एक सम आवधिक फलन है, तो इसकी फुरियर श्रृंखला में केवल कोसाइन (संभवतः स्थिरांक पद शामिल है) पद शामिल है।
जब f अवधि 2L का एक विषम आवधिक फलन है, तो इसकी फुरियर श्रृंखला में केवल साइन पद शामिल है।
- दिए गए आवधिक संकेत की समरूपता के आधार पर हम फूरियर श्रृंखला के गुणांकों और दिए गए संकेत में मौजूद हार्मोनिक्स के प्रकार का निष्कर्ष निकाल सकते हैं।
- फूरियर श्रृंखला के साथ, गैर-साइनसॉइडल आवधिक तरंग को ज्यावक्रीय तरंग में परिवर्तित किया जा सकता है।
नीचे दी गई तालिका समरूपता के अनुरूप फूरियर गुणांक के प्रकार को दर्शाती है।
समरूपता |
स्थिति |
a0 |
an |
bn |
शब्द |
सम |
x(t) = x(-t) |
गैर शून्य |
गैर शून्य |
शून्य |
DC और कोसाइन |
विषम |
x(t) = - x(-t) |
शून्य |
शून्य |
गैर शून्य |
केवल साइन |
अर्ध तरंग |
|
शून्य |
शून्य; n सम गैर शून्य; n विषम |
शून्य; n सम गैर शून्य; n विषम |
केवल विषम हार्मोनिक्स |
फ़ोरियर श्रेणी _________ संकेतों पर लागू होती है।
Answer (Detailed Solution Below)
Definition of Fourier Series Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFफोरियर श्रेणी:
एक फ़ोरियर श्रेणी एक सतत और आवर्ती फलन f(x) का एक अनंत योग के रूप में साइन और कोसाइन का विस्तार है।
फ़ोरियर श्रेणी का उपयोग साइन और कोसाइन फलनों के लांबिकता संबंधों के लिए किया जाता है।
उन फलनों के लिए जो आवर्ती नहीं हैं, फ़ोरियर श्रेणी को फ़ोरियर रूपांतर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
आवर्ती संकेतों के लिए यह प्रतिनिधित्व असतत-समय फ़ोरियर श्रेणी बन जाता है, और अनावर्ती संकेतों के लिए यह असतत-समय फ़ोरियर रूपांतर बन जाता है।
सतत फ़ोरियर रूपांतर:
एक सतत और अनावर्ती समय संकेत x(t) के लिए सबसे सामान्य रूप में फ़ोरियर रूपांतर जोड़ी।
असतत समय फोरियर श्रेणी:
एक असतत और आवर्ती समय संकेत x(t) के लिए सबसे सामान्य रूप में फ़ोरियर रूपांतर जोड़ी।
किसी अनुक्रम
जहाँ ω0 एक मूल आवृत्ति है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
Answer (Detailed Solution Below)
Definition of Fourier Series Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFसंप्रत्यय:
यदि f(n) एक सिग्नल है तो इसका DTFT इस प्रकार परिभाषित किया जाएगा।
विश्लेषण:
x(n) ↔ X(ejω)
दिया गया है:
समीकरण (i) में (n) को (-n) से बदलने पर
समीकरण (ii) और (iii) की तुलना करने पर
Cn = x(-n)
ω0 = 1
अर्ध-तरंग सममिति का आवधिक फलन आवश्यक रूप से _________ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Definition of Fourier Series Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFअर्ध-तरंग सममिति:
जहाँ T आवधिक तरंग की अवधि है
अर्ध-तरंग विषम सममिति:
सम फलन सममिति:
f(t) = f(-t)
रेखांकन, तरंग अक्ष ऊर्ध्वाधर अक्ष (निर्भर अक्ष) के बारे में सममिति है इसे निम्न रूप से दिखाया गया है:
विषम फलन सममिति:
f(t) = -f(-t)
या
f(-t) = -f(t)
रेखांकन, तरंग मूल के बारे में सममिति है।
Important Points
- सममिति के साथ संकेत, उनके फूरियर श्रृंखला प्रतिनिधित्व में कोसाइन शब्द होते हैं। इसमें D.C शब्द हो या न हो, लेकिन साइन की शर्तें हमेशा शून्य रहेंगी।
- विषम फलन सममिति में केवल साइन शब्द होते हैं
- अर्ध-तरंग विषम सममिति में केवल विषम हार्मोनिक्स होते हैं
तरंगरूप v(t) = 10 sin (2π100t) दिया गया है। तो इसके फुरिए श्रृंखला प्रतिनिधित्व में दूसरे हार्मोनिक का परिमाण क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Definition of Fourier Series Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
फुरिए श्रृंखला के घातांकीय प्रतिनिधित्व को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
जहाँ, फुरिए गुणांक में Ck को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:
दिया गया है:
v(t) = 10 sin (2π100t)
ω0 = 200π
v(t) = (10 ej200πt - 10 e-j200πt )/2j
∴ दूसरा हार्मोनिक = 0
समय के एक सम आवर्ती फलन की त्रिकोणमितीय फूरियर श्रेणी में नहीं होता है
Answer (Detailed Solution Below)
Definition of Fourier Series Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFयदि कोई फलन सम और वास्तविक आवर्ती है तो उसकी फूरियर श्रेणी में केवल कोसाइन पद होते हैं:
f(x) = a0 + a1 cos ω0 t + a2 cos 2 ω0 t + …
यदि कोई फलन विषम और वास्तविक आवर्ती है तो उसकी फूरियर श्रेणी में केवल साइन पद होते हैं।
f(x) = a0 + b1 sin ω0 t + b2 sin 2 ω0 t + b3 sin 3 ω0 t + …
महत्वपूर्ण बिंदु:
- एक आवर्ती फलन के लिए, फूरियर श्रेणी दी गई है
- यदि f(x) = f(-x) तो एक फलन को सम कहा जाता है और यदि f(x) = -f(-x) तो उसे विषम कहा जाता है
तरंग V(t) = 10 sin (2π 100t) द्वारा दिया गया है। इसकी फूरियर श्रृंखला निरूपण में दूसरे हार्मोनिक्स का परिमाण क्या होगा?
Answer (Detailed Solution Below)
Definition of Fourier Series Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDF- दिया गया तरंग स्वयं एक त्रिकोणमितीय फूरियर श्रृंखला रूप में है जिसमें केवल मौलिक घटक होते हैं।
- अन्य सभी हार्मोनिक्स अनुपस्थित हैं।
- इसलिए दूसरे हार्मोनिक का परिमाण 0 V है
ड्यूटी चक्र 50% और p-p (0.2V to +0.2V) वाले एक 4 kHz वर्गाकार तरंग को 20 kHz संकीर्ण बैंडपास फ़िल्टर के लिए इनपुट के रूप में लागू किया जाता है जो वोल्टेज लाभ 20 वाले एक ऐम्प्लीफायर के बाद है। तो आउटपुट में मौजूद आवृत्ति घटक ज्ञात कीजिए। दिया गया है कि एक संकीर्ण बैंडपास फ़िल्टर की विच्छेद आवृत्तियाँ 20 kHz और 40 kHz है।
Answer (Detailed Solution Below)
Definition of Fourier Series Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है
संकीर्ण बैंडपास फ़िल्टर
T = 0.25 msec
अब x(t) पर फॉरियर श्रृंखला सूत्र को लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:
ω0T = 2π
इसलिए, विषम घटक a1, a3, a5, a7, a9…., और इसी तरह आगे भी है।
चूँकि फ़िल्टर केवल 20 kHz और 40 kHz के बीच आवृत्तियों को पारित करती है, इसलिए आवृत्ति के इस बैंड के बीच मौजूद घटक फ़िल्टर द्वारा पारित होंगे।
दी गयी मौलिक आवृत्ति 4 kHz है।
a1 = 4 kHz
a3 = 12 kHz
20 kHz, 28 kHz, और 36 kHz वाले इन 3 घटकों को पारित किया जायेगा और शेष घटकों को फ़िल्टर द्वारा अस्वीकृत किया जायेगा।
a11 → 44 kHz
a13 → 52 kHz
⋮
और इसी तरह आगे भी
∴ विकल्प 2 सही है।
Definition of Fourier Series Question 15:
sgn(cos(t)) के फूरियर श्रृंखला विस्तार में _________ है। जहां sgn साइनम फलन का प्रतिनिधित्व करता है
Answer (Detailed Solution Below)
Definition of Fourier Series Question 15 Detailed Solution
अवधारणा:
सम समरूपताएं:
एक सम संकेत का FS विस्तार साइन पद को सन्तुष्ट नहीं करता है
विषम समरूपता:
विषम संकेत के FS विस्तार में केवल साइन पद होता है।
अर्ध तरंग समरूपता:
समय स्थानांतरण
1 = -eJnπ
1 + (ejπ)n = 0
∴ eπj = -1
1 + (-1)n = 0 -----(1)
समीकरण (1) n = विषम पूर्णांक के लिए संतुष्ट होगा
nω 0 = विषम हार्मोनिक
∴ HWS के FS विस्तार में केवल विषम हार्मोनिक होता है
सम + H.W.S:
⇒ HWS सिग्नल के FS विस्तार में विषम हार्मोनिक के साथ cos पद शामिल हैं।
विषम हार्मोनिक के साथ Cos शर्तें
विषम + H.W.S
विषम H.W.S सिग्नल के F.S विस्तार में विषम हार्मोनिक्स के साथ साइन पद शामिल हैं।
विश्लेषण:
यह वर्ग तरंग का प्रतिनिधित्व करता है, जो एक सम और अर्ध-तरंग समरूपता फलन है, इसमें सभी विषम हार्मोनिक्स के लिए कोसाइन पद शामिल हैं।