वृत्त, जीवायें और स्पर्शरेखा MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Circles, Chords and Tangents - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

वृत्त की त्रिज्या (r) = 6 सेमी

केंद्र से जीवा की न्यूनतम दूरी (d) = 4.5 सेमी

गणना:

मान लीजिए कि जीवा AB की लंबाई 2x है। केंद्र O से जीवा पर लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए जीवा का प्रत्येक आधा भाग x लंबाई का है।

अब, समकोण त्रिभुज OMA (जहाँ M जीवा का मध्यबिंदु है) में,

OM = 4.5 सेमी (केंद्र से जीवा की दूरी),

OA = 6 सेमी (वृत्त की त्रिज्या),

AM = x (जीवा की लंबाई का आधा).

त्रिभुज OMA में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

इसलिए, जीवा AB की लंबाई

∴ जीवा AB की लंबाई 3√7 सेमी है।

दिया गया है:

त्रिज्या (r) = 7 सेमी

बिंदु P से केंद्र O की दूरी (OP) = 25 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

एक समकोण त्रिभुज में, पाइथागोरस प्रमेय:

(कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²

यहाँ, कर्ण = OP, आधार = स्पर्श रेखा की लंबाई, लंब = त्रिज्या

गणना:

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके:

OP² = स्पर्श रेखा² + त्रिज्या²

⇒ 25² = स्पर्श रेखा² + 7²

⇒ 625 = स्पर्श रेखा² + 49

⇒ स्पर्श रेखा² = 625 - 49

⇒ स्पर्श रेखा² = 576

⇒ स्पर्श रेखा = √576

⇒ स्पर्श रेखा = 24 सेमी

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

एक जीवा वृत्त के केंद्र पर तथा परिधि पर किसी भी बिंदु पर कोण बनाती है।

प्रयुक्त सूत्र:

केंद्र पर अन्तः कोण = परिधि पर अन्तः कोण का 2 गुना

गणना:

मान लीजिए कि परिधि पर अन्तः कोण x है।

⇒ केंद्र पर अन्तः कोण = 2x

⇒ अनुपात = केंद्र पर अन्तः कोण : परिधि पर अन्तः कोण

⇒ अनुपात = 2x : x

⇒ अनुपात = 2 : 1

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

दिया गया है:

उनके क्षेत्रफलों का योगफल =  74 π वर्ग सेमी

उनके केंद्रों के बीच की दूरी = 12 सेमी 

प्रयुक्त सूत्र:

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

गणना:

माना कि वृत्त 1 की त्रिज्या = x

इसलिए, वृत्त 2 की त्रिज्या = 12 - x

वृत्त 1 का क्षेत्रफल = π(x)²

वृत्त 2 का क्षेत्रफल = π(12 - x)²

प्रश्नानुसार ⇒ π(x)² + π(12 - x)² = 74π

⇒ x² + 144 - 24x + x² = 74 

⇒ 2x² - 24x + 70 = 0

⇒ x² - 12x + 35 = 0

⇒ (x - 7)(x - 5) = 0

⇒ x = 7 ⇒ x = 5 

∴ छोटे वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। 

दिया गया है:

C एक वृत्त का केंद्र है जिसकी त्रिज्या = 20 सेमी है।

AB एक जीवा है जिसकी लंबाई = 32 सेमी है।

CE = 13 सेमी, E, AB पर एक बिंदु है।

हमें AE × EB ज्ञात करना है।

प्रयुक्त सूत्र:

किसी वृत्त में, किसी भी जीवा AB तथा AB पर स्थित बिंदु E के लिए:

AE × EB = (त्रिज्या² - केंद्र से जीवा की दूरी²)

गणना:

त्रिज्या = 20 सेमी, इसलिए त्रिज्या² = 20² = 400

केंद्र से जीवा की दूरी (CE) = 13 सेमी, इसलिए CE² = 13² = 169

⇒ AE × EB = त्रिज्या² - CE²

⇒ AE × EB = 400 - 169

⇒ AE × EB = 231

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया गया है∶

AB ∥ CD, और 

AB = 10 सेमी, CD = 24 सेमी

त्रिज्याएँ OA और OC = 13 सेमी

प्रयुक्त सूत्र∶

केंद्र से जीवा पर लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।

पाइथागोरस प्रमेय

गणना∶

AB और CD पर लंबवत OP खींचिए, तथा

AB ∥ CD, इसलिए, बिंदु O, Q, P संरेख हैं।

हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।

AP = 1/2 AB = 1/2 × 10 = 5 सेमी

CQ = 1/2 CD = 1/2 × 24 = 12 सेमी

OA और OC को मिलाइए 

तब, OA = OC = 13 सेमी

समकोण ΔOPA से, हमें प्राप्त है

OP² = OA² -  AP²      [पाइथागोरस प्रमेय]

⇒ OP² = 13²- 5²

⇒ OP2 = 169 - 25 = 144

⇒ OP = 12 सेमी

समकोण ΔOQC से, हमें प्राप्त है

OQ² = OC²- CQ²      [पाइथागोरस प्रमेय]

⇒ OQ2 = 13² - 12²

⇒ OQ2 = 169 - 144 = 25

⇒ OQ = 5 

इसलिए, PQ = OP - OQ = 12 -5 = 7 सेमी

∴ जीवाओं के बीच की दूरी 7 सेमी है।

अवधारणा:

त्रिज्या संपर्क बिंदु पर स्पर्शरेखा के लंबवत होती है।

चतुर्भुज के सभी कोणों का योग = 360°

गणना:

PA और PB बाहरी बिंदु P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं।

∠OAP = ∠OBP = 90° (त्रिज्या संपर्क के बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है)

अब, चतुर्भुज OAPB में,

∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360° 

75° + 90° + ∠AOB + 90° = 360°

∠AOB = 105°

इस प्रकार, दो त्रिज्याओं, OA और OB के बीच का कोण 105° है।

दिया गया है:

प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = 7 सेमी

BD = दो वृत्तों के बीच अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा = 48 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

सीधी अनुप्रस्थ स्पर्शरेखाओं की लंबाई = √(वृत्तों के बीच की दूरी का वर्ग - वृत्तों की त्रिज्या के योग का वर्ग)

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की लंबाई =√(वृत्तों के बीच की दूरी का वर्ग - वृत्तों की त्रिज्या के बीच के अंतर का वर्ग)

गणना:

AC = सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की लंबाई

BD = सीधी अनुप्रस्थ स्पर्श रेखाओं की लंबाई

माना, दो वृत्तों के बीच की दूरी = x सेमी है,

इसलिए, BD = √[x2 - (7 + 7)2]

⇒ 48 = √(x2 - 142)

⇒ 48² = x2  - 196 [दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं]

⇒ 2304 = x2 - 196

⇒ x2 = 2304 + 196 = 2500

⇒ x = √2500 = 50 सेमी

साथ ही, AC = √[502 - (7 - 7)2]

⇒ AC = √(2500 - 0) = √2500 = 50 सेमी

∴ BD की लंबाई 48 सेमी है, AC की लंबाई 50 सेमी है।

हम जानते हैं,

उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लम्बाई = √[d² - (R - r)²]

जहाँ d वृत्तों के केंद्र के बीच की दूरी तथा R और r वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं

PQ = √[(R + r)² - (R - r)²]

⇒ PQ = √[R² + r² + 2Rr - (R² + r² - 2Rr)]

⇒ PQ = √4Rr

⇒ PQ² = 4Rr

अवधारणा:

तिर्यक प्रमेय 

यदि एक वृत्त की जीवा AB और जीवा CD एक बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती है, तो

PA × PB = PC × PD

गणना:

माना वृत्त की त्रिज्या = r 

⇒ 8 × 20 = (18 - r) × (18 + r)

⇒ 160 = 324 - r2

⇒ r2 = 164

⇒ r = 12.8062 

∴ वृत्त की त्रिज्या 12.8 सेमी के निकटतम है। 

दिया गया है:

LC = 6, CD = 11, LB = 4 और AB = x 

प्रयुक्त सूत्र:

LC × LD = LB × AL 

गणना:

प्रश्न के अनुसार

LC × LD = LB × AL 

6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x) 

⇒ 4 + x = 51/2 

⇒ 4 + x = 25.5 

⇒ x = AB = 21.5 

∴ AB की लंबाई 21.5 सेमी है।

दिया गया है:

अवधारणा:

अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है।

एक वृत्त के एक ही खण्ड में बनने वाले कोणों की माप बराबर होगी।

गणना:

B और R को मिलाने पर BR बनती है।

∠ARS + ∠ARP = 180°  [रेखीय युग्म]

⇒ ∠ARP = 180° - 125° = 55° 

∠ARB = 90°    [अर्धवृत्त में बना कोण] 

⇒ ∠ARP + ∠BRP =  90° 

⇒ ∠BRP = 90° - 55° = 35° 

∠BRP = ∠PAB = 35°  [एक ही खंड में बने कोण]

∴ ∠PAB = 35°

दिया गया है:

AX = 24

XB = k

CX = (k + 2)

XD = 16

प्रयुक्त सूत्र:

यदि दो जीवाएं AB और CD एक दूसरे को बिंदु X पर प्रतिछेदित करतीं हैं।

तो, AX × XB = CX × XD

गणना:

AX × XB = CX × XD

⇒ 24 × k = (k + 2) × 16

⇒ 3k = 2(k + 2)

⇒ 3k - 2k = 4

⇒ k = 4

अतः, k का मान 4 हैI

दिया गया है:

AB = 4 सेमी और BC = 5 सेमी

अवधारणा:

स्पर्शरेखा छेदक खंड प्रमेय: यदि एक स्पर्शरेखा और छेदक एक वृत्त के बाहर एक सामान्य बिंदु पर मिलते हैं, तो बनाए गए खंडों का संबंध दो छेदक किरणों के समान होता है।

⇒ AD² = AB (AB + BC)      

गणना:

स्पर्श रेखा छेदक प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास है,

AD2 = AB (AB + BC)     

⇒ AD2 = 4 (4 + 5)

⇒ AD2 = 36

⇒ AD = 6 सेमी

दिया गया है:

∠BAC = 60°

प्रयुक्त अवधारणा:

एक वृत्त के एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण वृत्त के शेष भाग पर उसके द्वारा बनाए गए किसी भी बिंदु पर कोण का दोगुना होता है।

गणना:

∠BIC = 2 × ∠BAC = 2 × 60° = 120°