Approximate Methods of Quantum Mechanics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Approximate Methods of Quantum Mechanics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

क्वांटम सुरंगन और विभव बाधा

• E 0 ऊर्जा वाला एक क्वांटम कण जो V₀ ऊँचाई और L चौड़ाई वाली एक सीमित विभव बाधा का सामना करता है, क्वांटम सुरंगन नामक घटना का अनुभव करता है।
• तरंग फलन ψ (x) का व्यवहार तीनों क्षेत्रों में अलग-अलग है:
  • क्षेत्र I (x मुक्त कण, दोलन तरंग फलन (जैसे, \sin या \cos), आपतित और परावर्तित तरंगों का प्रतिनिधित्व करता है।
  • क्षेत्र II (0 बाधा के अंदर, जहाँ E 0, तरंग फलन गैर-दोलनशील हो जाता है, घातीय क्षय और मामूली संचरण () दिखाता है।
  • क्षेत्र III (x > L): बाधा के बाद, तरंग फलन फिर से दोलनशील होता है लेकिन सुरंगन प्रभाव के कारण बहुत कम आयाम के साथ।
• |ψ(x)|² वर्ग मापांक प्रायिकता घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है, जो:
  • बाधा से पहले दोलन करता है।
  • बाधा के अंदर घातीय रूप से क्षय होता है।
  • बाधा के बाद छोटे आयाम के साथ फिर से उभरता है (अर्थात, कम लेकिन गैर-शून्य सुरंगन प्रायिकता)।

व्याख्या:

• विकल्प 2 सही ढंग से दिखाता है:
  • क्षेत्र I में दोलनशील |ψ(x)|² (आपतित और परावर्तित तरंग अध्यारोपण)।
  • बाधा के अंदर प्रायिकता का घातीय क्षय, E 0 के अनुरूप।
  • बाधा के बाद संचरित तरंग के कारण क्षेत्र III में छोटा आयाम दोलन।
• अन्य विकल्प गलत हैं:
  • विकल्प 1: बाधा से परे घातीय क्षय दिखाता है जो अप्राकृतिक है क्योंकि संचरण को बाधा के बाद दोलनों की अनुमति देनी चाहिए।
  • विकल्प 3: बाधा के अंदर दोलनों का सुझाव देता है, केवल E > V₀ के लिए मान्य।
  • विकल्प 4: बाधा के अंदर कोई क्षय नहीं दिखाता है, सुरंगन सिद्धांत का उल्लंघन करता है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

अवधारणा:

प्रथम-क्रम क्षोभ सिद्धांत

• ऊर्जा में प्रथम-क्रम क्षोभ सुधार सूत्र द्वारा दिया गया है:

  E₁' = ψ₀|V|ψ₀>

• L लंबाई के एक-आयामी बॉक्स में एक कण के लिए, मूल अवस्था तरंग फलन है:

  ψ₀(x) = √(2/L) sin(πx/L)

• दिए गए क्षोभकारी विभव के लिए:
  •  0 ≤ x ≤ L/2 के लिए V = V
  •  L/2 ≤ x ≤ L के लिए V = V/3
• प्रथम-क्रम ऊर्जा सुधार उन क्षेत्रों पर तरंग फलन को समाकलित करके प्राप्त किया जाता है जहाँ विभव भिन्न होता है:
  • प्रथम क्षेत्र (0 ≤ x ≤ L/2) विभव V के साथ
  • द्वितीय क्षेत्र (L/2 ≤ x ≤ L) विभव V/3 के साथ

व्याख्या:

• प्रथम-क्रम सुधार में दो विभव क्षेत्रों के लिए कुल समाकल को दो भागों में विभाजित करना शामिल है:
  • विभव V के लिए 0 से L/2 तक समाकल
  • विभव V/3 के लिए L/2 से L तक समाकल
• समाकलन करने के बाद, हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:
  • प्रथम क्षेत्र से योगदान: ½ V
  • द्वितीय क्षेत्र से योगदान: ⅙ V
• इसलिए, कुल प्रथम-क्रम ऊर्जा सुधार है:

  E₁' = (VxL/2 + V/3 xL/2) / L = V/2 + V/6 = 4V/6 = 2V/3

इसलिए, सही उत्तर 2V/3 है।

संकल्पना:

क्रोनकर डेल्टा फलन

• क्रोनकर डेल्टा फलन, जिसे δ_nk द्वारा दर्शाया जाता है, एक असतत फलन है जिसका उपयोग योग संकेतन और मैट्रिक्स निरूपण में किया जाता है।
• यह इस प्रकार परिभाषित है:

  δ_nk =

  • 1, यदि n = k
  • 0, यदि n ≠ k
• यह फलन एक पहचान चयनकर्ता के रूप में कार्य करता है, यह सुनिश्चित करता है कि योग में केवल मिलान सूचकांकों वाले पद ही योगदान करते हैं।

व्याख्या:

• विकल्प 1: δ_nk = 2, n = k और δ_nk = 2, n ≠ k
  • गलत, क्योंकि क्रोनकर डेल्टा को n और k के किसी भी मान के लिए 2 के रूप में परिभाषित नहीं किया गया है।
• विकल्प 2: δ_nk = 3, n = k और δ_nk = 3, n ≠ k
  • गलत, क्योंकि δ_nk को 1 के रूप में परिभाषित किया गया है जब n = k और अन्यथा 0।
• विकल्प 3: δ_nk = 1, n = k और δ_nk = 0, n ≠ k
  • सही, क्योंकि यह क्रोनकर डेल्टा फलन की मानक परिभाषा का पालन करता है।
• विकल्प 4: δ_nk = 0, n = k और δ_nk = 1, n ≠ k
  • गलत, क्योंकि यह δ_nk के लिए शर्तों को गलत तरीके से उत्क्रमित देता है।

इसलिए, सही उत्तर है δ_nk = 1 जब n = k और δ_nk = 0 जब n ≠ k।

सही उत्तर हैpx, py, और pz के प्रायिकता वितरण कोणों θ और ϕ से स्वतंत्र हैं, और उनका योग एक स्थिरांक समग्र प्रायिकता वितरण की ओर ले जाता है।

व्याख्या:

px, py, और pz के कोणीय घटक हैं:

px = (3 / 4π) sinθ cosϕ,

py = (3 / 4π) sinθ sinϕ,

pz = (3 / 4π) cosθ.

संयुक्त वितरण px2 + py2 + pz2 है:

px2 + py2 + pz2 = (3 / 4π) (sin2θ cos2ϕ + sin2θ sin2ϕ + cos2θ).

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके:

यह सरल हो जाता है:

px2 + py2 + pz2 = 3 / 4π.

परिणाम px2 + py2 + pz2 = 3 / 4π दर्शाता है कि कुल प्रायिकता वितरण स्थिरांक है और θ या ϕ पर निर्भर नहीं करता है। कोणों की यह स्वतंत्रता गोलीय सममिति की पुष्टि करती है।

अवधारणा:

गोलीय सममिति

• प्रायिकता वितरण के कोणीय घटक:
• संयुक्त वितरण:
  • cos2ϕ + sin2ϕ = 1
  • sin2θ + cos2θ = 1
• गोलीय सममिति:
• • परिणाम p²_x + p²_y + p²_z = ³/_4π दर्शाता है कि कुल प्रायिकता वितरण स्थिरांक है और θ या ϕ पर निर्भर नहीं करता है।
  • कोणों की यह स्वतंत्रता गोलीय सममिति की पुष्टि करती है।

निष्कर्ष:

गोलीय सममिति इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि px, py, और pz के कोणीय घटकों का योग दिशा से स्वतंत्र एक स्थिरांक मान देता है। इस प्रकार, नियॉन परमाणु की मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन वितरण गोलीय सममित है।

अवधारणा:

प्रथम-कोटि ऊर्जा संशोधन, विक्षोभ सिद्धांत का उपयोग करके

• विक्षोभ सिद्धांत एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग क्वांटम निकाय के ऊर्जा स्तरों का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है जब हैमिल्टोनियन में एक छोटा विक्षोभकारी विभव जोड़ा जाता है।
• 1D बॉक्स में एक कण के लिए, बिना विक्षोभित निम्नतम ऊर्जा स्तर की ऊर्जा और तरंग फलन अच्छी तरह से ज्ञात हैं, और हम विक्षोभ के कारण ऊर्जा परिवर्तन ज्ञात करने के लिए प्रथम-कोटि संशोधन सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
• विक्षोभ ( ) के कारण निम्नतम ऊर्जा स्तर में प्रथम-कोटि संशोधन, निम्नतम ऊर्जा स्तर के तरंग फलन में विक्षोभ के प्रत्याशा मान द्वारा दिया जाता है:

गणना:

• विक्षोभ पद है।
• ऊर्जा में प्रथम-कोटि संशोधन इस प्रकार दिया गया है:
• L लंबाई के एक बॉक्स में एक कण के लिए, निम्नतम ऊर्जा स्तर का तरंग फलन है:
• निम्नतम ऊर्जा स्तर के तरंग फलन को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
• समाकल का मूल्यांकन करने पर, हम पाते हैं कि यह सरल हो जाता है:

निष्कर्ष:

• विक्षोभ के कारण निम्नतम ऊर्जा स्तर में प्रथम-कोटि संशोधन है:
  • विकल्प (1):

अवधारणा:

संयोजक आबंध सिद्धांत (VBT) में कुल तरंग फलन

• संयोजक आबंध सिद्धांत परमाणु कक्षकों के अतिव्यापन को ध्यान में रखते हुए अणुओं में आबंधन की व्याख्या करता है।
• अणु के तरंग फलन को घटक परमाणुओं के परमाणु तरंग फलनों के संयोजन के रूप में वर्णित किया गया है।
• यह संयोजन एक रैखिक सुपरपोजिशन हो सकता है, जो आम तौर पर योग के रूप में होता है।

व्याख्या:

• संयोजक आबंध सिद्धांत के अनुसार एक अणु के लिए कुल तरंग फलन Ψ को व्यक्तिगत परमाणुओं के तरंग फलनों को मिलाकर दर्शाया जाता है, आमतौर पर उनकी बातचीत का वर्णन करने के लिए योग का उपयोग किया जाता है।
• इसे Ψ = ΨA + ΨB के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ ΨA और ΨB क्रमशः परमाणु A और B के तरंग फलन हैं।
• अणु तरंग फलन का सही प्रतिनिधित्व, जैसा कि विकल्पों में दिया गया है, है:
  • Ψ = ΨA + ΨB

सही विकल्प Ψ = ΨA + ΨB है।

अवधारणा:

ब्यूटाडाईन एक π संयुग्मित निकाय है। यह समपक्ष और विपक्ष समावयव दोनों रूपों में विद्यमान है।

व्याख्या:

ट्रांस-ब्यूटाडाईन में, इलेक्ट्रॉन किसी विशेष परमाणु पर स्थानीयकृत नहीं होते हैं। π इलेक्ट्रॉन अनुनाद कर रहे हैं और सभी कार्बन परमाणुओं पर समान रूप से उपलब्ध हैं।

इस प्रकार, सभी परमाणुओं पर इलेक्ट्रॉन घनत्व का अनुपात है:

1: 1 : 1: 1

निष्कर्ष:

इसलिए, विपक्ष-ब्यूटाडाईन के चार कार्बन परमाणुओं पर कुल π इलेक्ट्रॉन घनत्व का अनुपात 1: 1 : 1: 1 है।

व्याख्या:-

आइगेनमान- अदिश मानों का स्थानिक समुच्चय जो रैखिक समीकरणों और मैट्रिक्स के समुच्चय से जुड़े होते हैं। इन्हें विशिष्ट मान या मूल भी कहा जाता है।​

आइगेनमान और आइगेनवेक्टर की परिभाषा

वर्ग n x n मैट्रिक्स A

= आइगेनवेक्टर

λ = आइगेनमान

प्रत्येक आइगेनमान एक विशिष्ट आइगेनवेक्टर से जुड़ा होता है

गणना-

दिया गया है,

तरंग फलन है Ψ = sin(kx) exp (3ikx) या Ψ = sin(kx) e^(3ikx) ,

प्रयोग करते हुए ÂΨ = a Ψ

जहाँ, a = स्थिरांक फलन। यहाँ, फलन संवेग है।

P_x Ψ = -i hd/dx[sin kx e^3ikx] = i h [cos kx.e^3ikx + sin kx e^3ikx. 3ik ] ,

sin kx = e^ix - e^ix / 2i , -i hd/dx[ eix - eix / 2i .e3ikx]

= -i h[ 4ik .e⁴ix /2ik - 2ik. e²ix / 2ik] =

[4hk.e4ix /2ik + 2i²hk . e2ix / 2ik],

इस प्रकार, अपेक्षित परिणाम 2hk या 4hk है। यहाँ, सही विकल्प 2hk है।

संप्रत्यय:

• एक परमाणु में इलेक्ट्रॉन भी यह द्वैत प्रकृति रखते हैं। उनका आकार छोटा होने और द्रव्यमान नगण्य होने के कारण उनमें तरंग प्रकृति महत्वपूर्ण है।
• एक कक्षक इलेक्ट्रॉन की तरंग जैसी प्रकृति का वर्णन करता है।
• कक्षक गणितीय फलन हैं जिनका उपयोग इलेक्ट्रॉन को खोजने की प्रायिकता की गणना करने के लिए किया जाता है जिसे 'ψ' से दर्शाया जाता है।
• इलेक्ट्रॉन को खोजने की प्रायिकता इन कक्षकों में अधिकतम होती है।
• तरंग फलनों के वर्ग 'ψ2' हमें इलेक्ट्रॉनों का प्रायिकता घनत्व देता है।
• तरंग फलनों के दो भाग होते हैं:
  • रेडियल - हमें कक्षकों का विस्तार या आकार देता है
  • कोणीय - हमें अंतरिक्ष में कक्षकों का ओरिएंटेशन देता है।
• वे बिंदु जहाँ तरंग फलन शून्य हो जाता है, नोड कहलाते हैं।

गणना:

दिया गया है:

निकाय का तरंग फलन =

• ρ = 2Zr / a0
• नोड्स के लिए, फलन

या,

द्विघात समीकरण के मूल तरंग फलन में नोड्स के बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

ax² + bx + c के साथ उपरोक्त समीकरण की तुलना करने पर, मूल इस प्रकार दिए जाएँगे:

इसलिए, ρ =

या, ρ = 9 ± 3√3

चूँकि

चूँकि हाइड्रोजन परमाणु में Z= 1 है, r इस प्रकार दिया गया है:

r =

r = a₀.

इसलिए, 3s कक्षक के रेडियल नोड्स की स्थिति (a0 की इकाइयों में) हैं।

संप्रत्यय:-

• शून्य-बिंदु ऊर्जा: किसी क्वांटम यांत्रिक निकाय की सबसे कम संभव ऊर्जा।
• दृढ़ घूर्णक के ऊर्जा स्तर: क्वांटम यांत्रिकी में घूर्णन प्रणाली की क्वांटित ऊर्जा अवस्थाओं का वर्णन करता है, जिसका अर्थ है कि ऊर्जा जड़त्व आघूर्ण के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
• श्रोडिंगर समीकरण: क्वांटम यांत्रिकी में एक मौलिक समीकरण जो वर्णन करता है कि किसी क्वांटम निकाय की क्वांटम अवस्था समय के साथ कैसे बदलती है। कई इलेक्ट्रॉन प्रणालियों के लिए, इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन सहसंबंध समस्या के कारण इसे ठीक से हल करना जटिल हो जाता है।
• कुल कोणीय संवेग: कक्षीय और चक्रण कोणीय संवेग का सदिश योग, जो परमाणु निकायों के लिए क्वांटम यांत्रिकी में एक मौलिक अवधारणा है।

व्याख्या:-

कथन 1 के लिए
छोटे द्रव्यमान वाले कणों के लिए श्रोडिंगर समीकरण कण की स्थितिज ऊर्जा को इस प्रकार देता है
E_n = (n + 1/2) hv
शून्य बिंदु ऊर्जा के लिए, सबसे निचले कंपन स्तर में n = 0 होता है।
E₀= 1/2 hv
इस प्रकार कथन 1 सही है।

कथन 2 के लिए
किसी क्वांटम यांत्रिक दृढ़ घूर्णक का ऊर्जा स्तर निम्न समीकरण द्वारा दिया जाता है
Ej = (h²/2I)J (J+1)
सूत्र से, यह स्पष्ट है कि, Ej, 1/I के समानुपाती है
इस प्रकार, कथन (2) सही है।

कथन 3 के लिए
Li²⁺ एक एक-इलेक्ट्रॉन प्रणाली है और श्रोडिंगर समीकरण एक-इलेक्ट्रॉन प्रणाली पर बहुत लागू होता है।

इसलिए यह कथन गलत है

कथन 4 के लिए
कुल कोणीय संवेग(J) = L+S
जहाँ L= कक्षीय कोणीय संवेग
और S= चक्रण कोणीय संवेग
इस प्रकार कथन 4 भी सही है

केवल कथन 3 गलत है।

निष्कर्ष:-

इसलिए, एकमात्र गलत कथन कथन 3 है

व्याख्या:-

• हुकल आण्विक कक्षक के लिए

​(χ2 + χ3 − χ5 − χ6), नोड्स की संख्या 2 है,

• इस प्रकार, इस आण्विक कक्षक के साथ अपभ्रष्ट आण्विक कक्षक में भी 2 नोड्स होने चाहिए।

(1) आण्विक कक्षक (2χ1 + χ2 − χ3 − 2χ4 − χ5 + χ6) के लिए

नोड्स की संख्या = 2

(2) आण्विक कक्षक (χ2 − χ3 + χ5 − χ6 के लिए)

नोड्स की संख्या = 3

(3) आण्विक कक्षक (2χ1 − χ2 − χ3 + 2χ4 − χ5 − χ6) के लिए

नोड्स की संख्या = 3

(3) आण्विक कक्षक (χ1 − χ2 + χ3 − χ4 + χ5 − χ6)

नोड्स की संख्या = 5

• इस प्रकार, बेंजीन का हुकल आण्विक कक्षक ​​(2χ1 + χ2 − χ3 − 2χ4 − χ5 + χ6) में भी 2 नोड्स हैं।

निष्कर्ष:-

इसलिए, बेंजीन का हुकल आण्विक कक्षक जो आण्विक कक्षक ​(χ2 + χ3 − χ5 − χ6) के साथ अपभ्रष्ट है, (2χ1 + χ2 − χ3 − 2χ4 − χ5 + χ6) है।

व्याख्या:-

• LiH एक ध्रुवीय अणु है।
• LiH अणु की प्रमुख अनुनाद संरचना का स्थानिक भाग है

1sH(r1) 1sH(r2)

• यह विकल्प लिथियम-हाइड्रोजन (Li-H) बंध के लिए तरंग फलन के स्थानिक भाग का प्रतिनिधित्व करता है।
• इस संरचना में, लिथियम का 2s कक्षक (2s_Li) दोनों परमाणुओं पर हाइड्रोजन के 1s कक्षक (1s_H) के साथ परस्पर क्रिया करता है। यह दो तरंग फलनों के रचनात्मक संयोजन को इंगित करता है।

निष्कर्ष:-

इसलिए, LiH अणु की प्रमुख अनुनाद संरचना का स्थानिक भाग 1sH(r1) 1sH(r2) है।

अवधारणा:-

क्षोभ सिद्धांत:

• क्षोभ सिद्धांत किसी भी निकाय के सटीक हल को अत्यधिक सटीकता के साथ ज्ञात करने की एक क्षोभ विधि है।
• किसी विशेष ऊर्जा स्तर में ऊर्जा संशोधन को तोड़ने के लिए, हमें एक विशिष्ट क्रम में संचालक को विक्षुब्ध करना होगा।
• ऊर्जा संशोधन दिया गया है,

प्रथम क्रम तक विक्षुब्ध ऊर्जा स्तर दिए गए हैं,

​

व्याख्या:-

हाइड्रोजन परमाणु के लिए जो एक विक्षोभ के संपर्क में है

V= E.z

कक्षक जो तरंग फलन के लिए प्रथम-क्रम संशोधन में योगदान देगा,

​

2s, 3p_y और 3dz2 कक्षकों के लिए तरंग फलन के लिए प्रथम-क्रम संशोधन होगा

​,

, और

जबकि 2p_z कक्षक के लिए, तरंग फलन के लिए प्रथम-क्रम संशोधन होगा

​​

चूँकि तरंग फलन के लिए प्रथम-क्रम संशोधन का मान 2pz कक्षक के लिए शून्येतर है, यह प्रथम-क्रम संशोधन में योगदान देगा।

निष्कर्ष:-

इसलिए, तरंग फलन के लिए प्रथम-क्रम संशोधन केवल 2pz कक्षक से आता है।

अवधारणा:

क्वांटम यांत्रिकी में, किसी तंत्र की मूल अवस्था ऊर्जा के लिए द्वितीय कोटि विक्षोभ सुधार इस प्रकार दिया जाता है:

जहां:

• मूल अवस्था ऊर्जा के लिए द्वितीय क्रम सुधार है।

• V_0n मूल अवस्था और उच्च अवस्थाओं के बीच विक्षोभ के आव्यूह तत्व हैं।

• E₀ और E_n क्रमशः मूल अवस्था और उच्च अवस्थाओं की विक्षोभ ऊर्जाएँ हैं।

व्याख्या:

मूल अवस्था ऊर्जा के लिए द्वितीय कोटि सुधार के लिए, हम प्रत्येक उत्तेजित अवस्था से योगदान की गणना करते हैं:

• चरण 1: विक्षोभ ऊर्जाओं की पहचान करें:

• चरण 2: विक्षोभ के आव्यूह तत्व (V_0n) इस प्रकार दिए गए हैं:

• चरण 3: द्वितीय कोटि सुधार सूत्र लागू करें:

• चरण 4: योगदानों की गणना करें:

  • पहले पद के लिए:

  • दूसरे पद के लिए:

• चरण 5: योगदानों को जोड़ें:

निष्कर्ष:

मूल अवस्था ऊर्जा के लिए द्वितीय कोटि सुधार -17 eV है।

संकल्पना:

साइक्लोप्रोपेनिल धनायन के लिए हकल सन्निकटन

• हुकल सन्निकटन में, संयुग्मित प्रणालियों की π-ऊर्जा को आणविक कक्षकों के लिए धर्मनिरपेक्ष निर्धारक को हल करके गणना की जाती है।
• साइक्लोप्रोपेनिल धनायन (C₃H₃⁺) एक एरोमेटिक प्रणाली है जिसमें तीन कार्बन परमाणु होते हैं, जिसमें एक विस्थानीकृत π-इलेक्ट्रॉन अभ्र होता है।
• इस सन्निकटन में, कुल π-ऊर्जा को कूलॉम समाकलों (α) और अनुनाद समाकलों (β) के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है।

व्याख्या:

• साइक्लोप्रोपेनिल धनायन में 3 कार्बन परमाणु होते हैं, इसलिए हम आणविक कक्षक ऊर्जाओं को हल करने के लिए 3x3 आव्यूह समुच्चय करते हैं।
• 3-सदस्यीय वलय के लिए हकल निर्धारक को हल करने के बाद (α और β का उपयोग करके), हमें तीन ऊर्जा स्तर मिलते हैं:
• साइक्लोप्रोपिल धनायन:
  • ऊर्जा = α + 2β (बंधन आणविक कक्षक)
  • ऊर्जा = α (गैर-बंधन आणविक कक्षक)
  • ऊर्जा = α - 2β (प्रति-बंधन आणविक कक्षक)
• साइक्लोप्रोपेनिल धनायन (दो π-इलेक्ट्रॉनों के साथ) के लिए कुल π-ऊर्जा की गणना बंधन आणविक कक्षक को भरकर की जाती है:
  • कुल π-ऊर्जा = 2 x (α + 2β) = 2α + 4β

निष्कर्ष:

• साइक्लोप्रोपेनिल धनायन के लिए कुल π-ऊर्जा 2α + 4β है।